Εξίσωση

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 3 δημοσιεύσεις • Σελίδα 1 από 1

Να λυθεί η εξίσωση στους (θετικούς) ακέραιους.

(n!)^2 = n^3 + n^2

οπου (

) παριστάνει το παραγοντικό.

Ετικέτες:

Εξίσωση

n>2 \Longrightarrow \left ( n-1 \right )^{2}n^{2}|\left ( n! \right )^{2}=n^{2}+n^{3}\Longrightarrow \left ( n-1 \right )^{2}\leq n+1\Longrightarrow n\leq 3

Mihalis_Lambrou: Επιμελητής; Δημοσιεύσεις: 18632; Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

mick7 έγραψε: Σάβ Αύγ 15, 2026 4:21 pm Να λυθεί η εξίσωση στους (θετικούς) ακέραιους.

$(n!)^2 = n^3 + n^2$

.
Για

n=1,\,2,\,3

ελέγχουμε με το χέρι: Θα βρούμε

(1!)^2 = 1 \ne 2= 1^3 + 1^2

και

(2!)^2 = 4 \ne 12=2^3 + 2^2

και

\boxed {(3!)^2 = 36 = 27+9=3^3 + 3^2}

. Tώρα, για n>3

είναι

n^2>3n

(*) και

(n!)^2 > (n(n-1))^2=n^2(n^2-2n+1) > ^{(*)} n^2(3n-2n+1)=n^2(n+1)=n^3+n^2

, πάντως όχι ίσα.

3 δημοσιεύσεις • Σελίδα 1 από 1

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες