Ίσες γωνίες 41

KARKAR · #1

: Ίσες γωνίες.png (13.69 KiB) Προβλήθηκε 1406 φορές

Το σημείο

είναι το μέσο της χορδής

και το

τυχαίο σημείο της .

Η κάθετη της χορδής στο

τέμνει τον κύκλο στο

. Έστω

σημείο

στην προέκταση της

, ώστε :

και ας ονομάσουμε

,

την τομή της

με τον κύκλο . Δείξτε ότι $\theta = \phi$ .

#2

Ας είναι

το κέντρο του κύκλου και

το άλλο σημείο τομής της

με το κύκλο. Φέρνω την ευθεία

που προφανώς είναι άξονας συμμετρίας του κύκλου .
Αφού στο τρίγωνο MCP

η

είναι μεσοκάθετος , θα είναι ισοσκελές και $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$

: Ισες γωνίες 41.png (27.05 KiB) Προβλήθηκε 1379 φορές

Τα τρίγωνα $KMC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KMD$ είναι αμβλυγώνια κι έχουν ακόμα

κοινή και

άρα (έμμεσο κριτήριο) είναι ίσα οπότε θα έχουν MC = MD

.

Η ευθεία

θα είναι έτσι κάθετη στη

και άρα

,

δηλαδή το τετράπλευρο ABDC

είναι ισοσκελές τραπέζιο οπότε $\boxed{\widehat \phi = \widehat \theta }$ ως εγγεγραμμένες του ίδιου κύκλου σε ίσα τόξα.

Xriiiiistos · #3

τέμνει τον κύκλο για δεύτερη φορά στο

. Αφού

μεσοκάθετη της

έχουμε $\widehat{CMN}=\widehat{NMP}$ $\Leftrightarrow \widehat{BMP}=\widehat{BMC}$ Για να είναι ίσες οι γωνίες που ζητάμε αρκεί να δείξουμε πως τα τρίγωνο SMB,CMB

είναι όμοια δηλαδή $\frac{SM}{MB}=\frac{MB}{CM}\Leftrightarrow MB^{2}=SM\cdot CM=MA\cdot MB$ (i)

όμως από το εγγράψιμο ARBS

έχουμε $MA\cdot MB=SM\cdot MR=_{(i)}SM\cdot CM$ οπότε αρκεί να δείξουμε CM=MR

σημείο του τόξου ACRB

ώστε $XM\perp AB$ έχουμε $\widehat{CMA}=\widehat{AMP}=\widehat{BMR}\Leftrightarrow 90-\widehat{CMA}=90-\widehat{RMB}\Leftrightarrow \widehat{CMX}=\widehat{XMR}$ όμως αφού

είναι το μέσο της

τότε το

περνάει και από το

ΠΟΥ είναι το κέντρο του κύκλου $\widehat{CMO}=\widehat{RMO}$ τότε to

ανήκει στην μεσοκάθετο του

οπότε

άρα

$\widehat{RBM}=\widehat{MAC}$ και αφού MA=MB

έχουμε

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 11, 2019 10:02 pm
Ίσες γωνίες.pngΤο σημείο είναι το μέσο της χορδής και το τυχαίο σημείο της .Η κάθετη της χορδής στο τέμνει τον κύκλο στο . Έστω σημείο στην προέκταση της , ώστε : και ας ονομάσουμε ,την τομή της με τον κύκλο . Δείξτε ότι $\theta = \phi$ .

: ίσες γωνίες.png (33.44 KiB) Προβλήθηκε 1366 φορές

Έστω το σημείο τομής της στο καθέτου στην με τον κύκλο.
Τότε από $AB\parallel CD$ (κάθετες στην προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο (τραπέζιο εγγεγραμμένο σε κύκλο) και συνεπώς

$AD = BC\mathop = \limits^{B \in \,\,\mu \varepsilon \sigma o\kappa \alpha \theta \varepsilon \tau \eta \,\,\tau o\upsilon \,\,CP} PB$ και με $\angle DQB\mathop = \limits^{\iota \sigma o\sigma \kappa \varepsilon \lambda \varepsilon \varsigma \,\,\tau \rho \alpha \pi \varepsilon \zeta \iota o} \angle ABC\mathop = \limits^{\sigma \upsilon \mu \mu \varepsilon \tau \rho \iota \alpha \,\,\omega \varsigma \,\,\pi \rho o\varsigma \,\,AB} \angle ABP \Rightarrow ADBP$ παραλληλόγραμμο (δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες) άρα οι διαγώνιές του διχοτομούνται, δηλαδή η διέρχεται από το μέσο της και συνεπώς τα σημεία είναι συνευθειακά.
Τότε $\angle \varphi =\angle \theta$ (εγγεγραμμένες σε ίσα τόξα (από τις παράλληλες χορδές) του ίδιου κύκλου) και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Ίσες γωνίες 41

Ίσες γωνίες 41

Re: Ίσες γωνίες 41

Re: Ίσες γωνίες 41

Re: Ίσες γωνίες 41

Μέλη σε σύνδεση