Κάθετες στο μέσο

#1

: Κάθετες στο μέσο.png (14.96 KiB) Προβλήθηκε 4131 φορές

Οι διαγώνιοι τετραπλεύρου ABCD

με

σχηματίζουν οξεία γωνία 30^0

.

Αν

είναι το μέσο του

, να δείξετε ότι $\displaystyle{BM \bot MC}.$

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Έστω

το μέσο της

και

το σημείο τομής των διαγωνίων του αρχικού τετραπλεύρου.

Στο τρίγωνο ABC

φέρνουμε το ύψος

και στο τρίγωνο BCD

το ύψος

. Επειδή τα τρίγωνα είναι ισοσκελή προκύπτει ότι τα ύψη αυτά είναι και διάμεσοι.

To

ενώνει τα μέσα

και

του τριγώνου ABC

, άρα είναι EN // AB

και

.
Επίσης το

ενώνει τα μέσα

και

του τριγώνου ABD

, άρα είναι MF // AB

και

.

To

ενώνει τα μέσα

και

του τριγώνου BCD

, άρα είναι FN // CD

και

.
Επίσης το

ενώνει τα μέσα

και

του τριγώνου ACD

, άρα είναι ME // CD

και

.

Άρα το NEMF

είναι ρόμβος.

Έχουμε $\widehat{BGE}=\widehat{GBC}+\widehat{GCB}=30^o$ (1)

Από το ορθογώνιο τρίγωνο EBC

προκύπτει ότι $\widehat{GCB}=\widehat{NEC}$ (2)

Επίσης, επειδή $\widehat{BEC}= \widehat{BFC}=90^o$ το BEFC

είναι εγγράψιμο. Άρα $\widehat{CEF}=\widehat{GBC}$ (3)

Από τις σχέσεις (1), (2) και (3) έχουμε $\widehat{CEF}+\widehat{NEC}=30^o$ . Και από τον ρόμβο προκύπτει εύκολα ότι το τρίγωνο ENM

είναι ισόπλευρο.

Άρα NM=NE=NF=NC=NB=r

. Επομένως τα σημεία

,

και

είναι ομοκυκλικά σε κύκλο με διάμετρο την

.

Συνεπώς $\widehat{BMC}=90^o$

Υ.Γ. Δεν αποκλείεται να πήγα μέσω Αμερικής...

#3

george visvikis έγραψε:Οι διαγώνιοι τετραπλεύρου με σχηματίζουν οξεία γωνία . Αν είναι το μέσο του , να δείξετε ότι $\displaystyle{BM \bot MC}.$

: κάθετες στο μέσο.png (21.19 KiB) Προβλήθηκε 4051 φορές

Έστω το συμμετρικό του ως προς το μέσο της $AD \Rightarrow \boxed{ED = AB = BC = CD}:\left( 1 \right)$ και $\boxed{ED\parallel AT}:\left( 2 \right),\left( {T \equiv AB \cap CD} \right)$ .

Είναι $\left\{ \begin{gathered} \angle CBT\mathop = \limits^{BA = BC} 2\left( {\angle BCA} \right) \\ \angle BCT\mathop = \limits^{BC = CD} 2\left( {\angle CBD} \right) \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{\left( + \right)} \angle CBT + \angle BCT$ $= 2\left[ {\angle BCA + \angle CBD} \right]\mathop = \limits^{\vartriangle BPC} 2\left( {\angle BPA} \right)\mathop = \limits^{\angle BPA = {{30}^0}} {60^0}$

$\mathop \Rightarrow \limits^{\vartriangle BTC} \angle BTD = {120^0}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)} \angle CDE = {60^0}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)}$ $\boxed{CE} = ED = CD = \boxed{CB}\mathop \Rightarrow \limits^{M\,\,\mu \varepsilon \sigma o\,\,\tau \eta \varsigma \,\,BE} \boxed{CM \bot BE}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Κάθετες στο μέσο

Κάθετες στο μέσο

Re: Κάθετες στο μέσο

Re: Κάθετες στο μέσο

Μέλη σε σύνδεση