Ισεμβαδικότητα ανομοίων

KARKAR · #1

: Ισεμβαδικότητα ανομοίων.png (10 KiB) Προβλήθηκε 896 φορές

Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ οι κορυφές B,C

και το ίχνος του ύψους

είναι σταθερά σημεία .

Ευθεία διερχόμενη από το μέσο

της

και το

, τέμνει την προέκταση της

σε

σημείο

. Φέροντας $SP\perp AD , SQ \perp CB$ , συμπληρώνουμε το ορθογώνιο DPSQ

.

Βρείτε τη θέση του

, ώστε :

, ανεξάρτητα από τη θέση του

.

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Μάιος 27, 2018 2:55 pm Ισεμβαδικότητα ανομοίων.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ οι κορυφές και το ίχνος του ύψους είναι σταθερά σημεία .

Ευθεία διερχόμενη από το μέσο της και το , τέμνει την προέκταση της σε

σημείο . Φέροντας $SP\perp AD , SQ \perp CB$ , συμπληρώνουμε το ορθογώνιο .

Βρείτε τη θέση του , ώστε : , ανεξάρτητα από τη θέση του .

: Ισεμβαδικότητα ανομοίων.png (10.23 KiB) Προβλήθηκε 882 φορές

$\displaystyle (DMC) = (DPSQ) \Leftrightarrow \frac{{(ADC)}}{2} = 2(QSD) \Leftrightarrow \frac{{(ADC)}}{{(QSD)}} = 4 \Leftrightarrow \frac{{D{C^2}}}{{D{Q^2}}} = 4 \Leftrightarrow$

$\displaystyle DC = 2DQ$ και AD=2QS.

Αλλά, $\displaystyle \frac{{AD}}{{QS}} = \frac{{BD}}{{QB}} = 2 \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{QD}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow$ $\boxed{DC=3BD}$

#3

Σχεδόν προφανές : 4BD = BC

: Αμόμοια και ισεμβαδικά.png (18.41 KiB) Προβλήθηκε 874 φορές

Αν

το μέσο του

θα είναι

ανεξαρτήτως του

$\boxed{KM = m = \dfrac{1}{2}KD}$ αυτό θα συμβεί αν και μόνο αν $\vartriangle PSD = \vartriangle KDM$ οπότε εύκολα

έχω : $\dfrac{{SP}}{{BD}} = \dfrac{{AP}}{{AD}} \Rightarrow \dfrac{{DK}}{{BD}} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow \dfrac{{2DK}}{{BD}} = 3 \Rightarrow \dfrac{{2DK + BD}}{{BD}} = 4 \Rightarrow BC = 4BD$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Κυρ Μάιος 27, 2018 2:55 pm Ισεμβαδικότητα ανομοίων.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ οι κορυφές και το ίχνος του ύψους είναι σταθερά σημεία .

Ευθεία διερχόμενη από το μέσο της και το , τέμνει την προέκταση της σε

σημείο . Φέροντας $SP\perp AD , SQ \perp CB$ , συμπληρώνουμε το ορθογώνιο .

Βρείτε τη θέση του , ώστε : , ανεξάρτητα από τη θέση του .

$\displaystyle \vartriangle ADC \simeq \vartriangle DSP \Rightarrow \frac{{\left( {ADC} \right)}}{{\left( {DSP} \right)}} = {\left( {\frac{{AD}}{{DP}}} \right)^2} = 4 \Rightarrow \frac{{DP}}{{PA}} = \frac{1}{3}$

Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ με διατέμνουσα $\displaystyle MDS \Rightarrow \frac{{AM}}{{MC}} \cdot \frac{{CD}}{{DB}} \cdot \frac{{SB}}{{SA}} = 1 \Rightarrow 1 \cdot \frac{{CD}}{{DB}} \cdot \frac{1}{3} = 1 \Rightarrow \boxed{CD = 3DB}$

: I.A.png (8.99 KiB) Προβλήθηκε 853 φορές

Ισεμβαδικότητα ανομοίων

Ισεμβαδικότητα ανομοίων

Re: Ισεμβαδικότητα ανομοίων

Re: Ισεμβαδικότητα ανομοίων

Re: Ισεμβαδικότητα ανομοίων

Μέλη σε σύνδεση