Ισεμβαδικά ορθογώνια

KARKAR · #1

: Ισεμβαδικά ορθογώνια.png (11.59 KiB) Προβλήθηκε 1424 φορές

Τα ορθογώνια OASB , OCTD

είναι ισεμβαδικά . Τα N ,M

είναι τα μέσα των AS , CT

και : $L\equiv AC\cap NM$ .

α) Δείξτε ότι : $AD \parallel BC$ ... β) Υπολογίστε την : $\tan\widehat{ALN}$ , συναρτήσει μόνον δύο πλευρών από τις a,b,c,d

.

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Ιαν 15, 2021 8:30 pm Ισεμβαδικά ορθογώνια.png Τα ορθογώνια είναι ισεμβαδικά . Τα είναι τα μέσα των και : $L\equiv AC\cap NM$ .

α) Δείξτε ότι : $AD \parallel BC$ ... β) Υπολογίστε την : $\tan\widehat{ALN}$ , συναρτήσει μόνον δύο πλευρών από τις .

Η υπόθεση ισεμβαδικότητας γράφεται ab=cd

, οπότε

. Άρα έχουμε $OAB \sim ODA$ με ίσες τις ομόλογες γωνίες

και

, από όπου η ζητούμενη παραλληλία.

Αν φέρουμε την μεσοπαράλληλη από το

στο

, έχουμε την για την εφαπτομένη $\tan \theta$ (με βάση την γωνία στο

που σχηματίσττηκε από την μεσοπαράλληλο)

$\tan \theta = \dfrac {b/2 +d/2}{c+a}$ .

Άρα

$\displaystyle{\tan \theta =\dfrac {b/2 +d/2}{c+a} = \dfrac {\frac {b}{2} +\frac {ab}{2c}}{c+a} = =\dfrac {b}{2c}}$

Edit: Έκανα διόρθωση.

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλό βράδυ σε όλους!

KARKAR έγραψε: Παρ Ιαν 15, 2021 8:30 pm Τα ορθογώνια είναι ισεμβαδικά . Τα είναι τα μέσα των και : $L\equiv AC\cap NM$ .

α) Δείξτε ότι : $AD \parallel BC$ ... β) Υπολογίστε την : $\tan\widehat{ALN}$ , συναρτήσει μόνον δύο πλευρών από τις .

: Ισεμβαδικά...png (171.72 KiB) Προβλήθηκε 1381 φορές

α) Είναι

άρα τα

ισαπέχουν από την βάση

δηλ. $AD \parallel BC$

Αντί για απάντηση στο β) ας μου επιτραπεί να θέσω το ζητούμενο:

Να εξεταστεί αν είναι $FC \parallel MN$ όπου το μέσον της ... Φιλικά, Γιώργος

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Παρ Ιαν 15, 2021 11:28 pm Αντί για απάντηση στο β) ας μου επιτραπεί να θέσω το ζητούμενο:

Να εξεταστεί αν είναι $FC \parallel MN$ όπου το μέσον της ... Φιλικά, Γιώργος

Ισχύει. Πράγματι, η κλίση της

είναι $\dfrac {FO}{CO}= \dfrac {b}{2c}$ , που είναι η ίδια με την κλίση της

(βλέπε λίγα ποστ παραπάνω).

Edit: Έκανα διόρθωση.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Παρ Ιαν 15, 2021 8:30 pm Ισεμβαδικά ορθογώνια.png Τα ορθογώνια είναι ισεμβαδικά . Τα είναι τα μέσα των και : $L\equiv AC\cap NM$ .

α) Δείξτε ότι : $AD \parallel BC$ ... β) Υπολογίστε την : $\tan\widehat{ALN}$ , συναρτήσει μόνον δύο πλευρών από τις .

1. $ab=cd \Rightarrow \dfrac{c}{a}= \dfrac{b}{d} \Rightarrow \dfrac{CO}{OA} = \dfrac{BO}{OD} \Rightarrow BC//AD$

2. $tan \theta = \dfrac{EM}{EN}= \dfrac{ \dfrac{b}{2}+ \dfrac{d}{2} }{a+c}= \dfrac{b+d}{2(a+c)}$ .

Αλλά $(ZBDT)=(SACZ) \Rightarrow (b+d)c=(a+c)b \Rightarrow b+d= \dfrac{(a+c)b }{c}$ άρα, $tan \theta = \dfrac{b}{2c}$

Για το ερώτημα του Γιώργου Μήτσιου, $tan \phi = \dfrac{EC}{EF}= \dfrac{b}{2c}=tan \theta \Rightarrow \phi = \theta \Rightarrow CF//MN$

: Ισεμβαδικά ορθογώνια.png (24.48 KiB) Προβλήθηκε 1357 φορές

#6

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: Σάβ Ιαν 16, 2021 2:00 am
KARKAR έγραψε: Παρ Ιαν 15, 2021 8:30 pm Ισεμβαδικά ορθογώνια.png Τα ορθογώνια είναι ισεμβαδικά . Τα είναι τα μέσα των και : $L\equiv AC\cap NM$ .

α) Δείξτε ότι : $AD \parallel BC$ ... β) Υπολογίστε την : $\tan\widehat{ALN}$ , συναρτήσει μόνον δύο πλευρών από τις .
1. $ab=cd \Rightarrow \dfrac{c}{a}= \dfrac{b}{d} \Rightarrow \dfrac{CO}{OA} = \dfrac{BO}{OD} \Rightarrow BC//AD$

2. $tan \theta = \dfrac{EM}{EN}= \dfrac{ \dfrac{b}{2}+ \dfrac{d}{2} }{a+c}= \dfrac{b+d}{2(a+c)}$ .

Αλλά $(ZBDT)=(SACZ) \Rightarrow (b+d)c=(a+c)b \Rightarrow b+d= \dfrac{(a+c)b }{c}$ άρα, $tan \theta = \dfrac{b}{2c}$

Για το ερώτημα του Γιώργου Μήτσιου, $tan \phi = \dfrac{EC}{EF}= \dfrac{b}{2c}=tan \theta \Rightarrow \phi = \theta \Rightarrow CF//MN$

Ισεμβαδικά ορθογώνια.png

Μιχάλη

Εκτιμώ ( δηλαδή είμαι σχεδόν σίγουρος ) ότι ο Γιώργος έβαλε το ερώτημα να δείχθει ανεξάρτητα απο την τιμή της εφαπτόμενης για να υπολογιστεί ( ευκολότερα προφανώς ) η ζητούμενη εφαπτόμενη της γωνίας

Δεν είναι δύσκολο να γίνει αυτό ( μια γραμμούλα ειναι) και θα επανέλθω αύριο αν δεν εχει απαντηθεί

KARKAR · #7

: Ισεμβαδικά ορθογώνια.png (11.84 KiB) Προβλήθηκε 1333 φορές

Προσθέτω στο σχήμα το σημείο

, που είναι η τομή των MN , BD

. Δείξτε ότι το

είναι το μέσο του

. Το ερώτημα αυτό ήταν το μοναδικό σε διαγωνισμό στο Ιράν .

#8

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιαν 16, 2021 8:58 am Ισεμβαδικά ορθογώνια.png Προσθέτω στο σχήμα το σημείο , που είναι η τομή των . Δείξτε ότι το

είναι το μέσο του . Το ερώτημα αυτό ήταν το μοναδικό σε διαγωνισμό στο Ιράν .

Αν

το μέσον του

τότε

$DQ=DK+KQ= \dfrac {d}{2} + MK \tan \theta= \dfrac {d}{2} + c\cdot \dfrac {b}{2c} = \dfrac {1}{2}(b+d) = \dfrac {1}{2}BD$ .

Σχόλιο: Αν αντιμετώπιζα την ερώτηση εξ αρχής, μόνο γι' αυτό το ερώτημα, δεν χρειάζονται τα παραπάνω. Η άσκηση είναι πολύ απλή με Αναλυτική Γεωμετρία (αρχή αξόνων το

) αφού από τις συντεταγμενες των μέσων

και

βρίσκουμε την εξίσωση της ευθείας

, και άρα το

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #9

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Σάβ Ιαν 16, 2021 2:10 am
Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: Σάβ Ιαν 16, 2021 2:00 am
KARKAR έγραψε: Παρ Ιαν 15, 2021 8:30 pm Ισεμβαδικά ορθογώνια.png Τα ορθογώνια είναι ισεμβαδικά . Τα είναι τα μέσα των και : $L\equiv AC\cap NM$ .

α) Δείξτε ότι : $AD \parallel BC$ ... β) Υπολογίστε την : $\tan\widehat{ALN}$ , συναρτήσει μόνον δύο πλευρών από τις .
1. $ab=cd \Rightarrow \dfrac{c}{a}= \dfrac{b}{d} \Rightarrow \dfrac{CO}{OA} = \dfrac{BO}{OD} \Rightarrow BC//AD$

2. $tan \theta = \dfrac{EM}{EN}= \dfrac{ \dfrac{b}{2}+ \dfrac{d}{2} }{a+c}= \dfrac{b+d}{2(a+c)}$ .

Αλλά $(ZBDT)=(SACZ) \Rightarrow (b+d)c=(a+c)b \Rightarrow b+d= \dfrac{(a+c)b }{c}$ άρα, $tan \theta = \dfrac{b}{2c}$

Για το ερώτημα του Γιώργου Μήτσιου, $tan \phi = \dfrac{EC}{EF}= \dfrac{b}{2c}=tan \theta \Rightarrow \phi = \theta \Rightarrow CF//MN$

Ισεμβαδικά ορθογώνια.png
Μιχάλη

Εκτιμώ ( δηλαδή είμαι σχεδόν σίγουρος ) ότι ο Γιώργος έβαλε το ερώτημα να δείχθει ανεξάρτητα απο την τιμή της εφαπτόμενης για να υπολογιστεί ( ευκολότερα προφανώς ) η ζητούμενη εφαπτόμενη της γωνίας

Δεν είναι δύσκολο να γίνει αυτό ( μια γραμμούλα ειναι) και θα επανέλθω αύριο αν δεν εχει απαντηθεί

Στάθη καλημέρα και καλή χρονιά με υγεία

Αφού $\dfrac{c}{a} = \dfrac{b}{d}$ θα είναι (στο σχήμα μου) $\dfrac{EF}{FN}= \dfrac{EC}{CM} \Rightarrow CF//MN$

Επειδή απάντησα πρώτα στα δυο ερωτήματα του Θανάση ,η απάντηση στο ερώτημα του Γιώργου προέκυψε άμεσα

Μιχάλης Τσουρακάκης · #10

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιαν 16, 2021 8:58 am Ισεμβαδικά ορθογώνια.png Προσθέτω στο σχήμα το σημείο , που είναι η τομή των . Δείξτε ότι το

είναι το μέσο του . Το ερώτημα αυτό ήταν το μοναδικό σε διαγωνισμό στο Ιράν .

$tan \theta = \dfrac{b}{2c}= \dfrac{ \dfrac{b}{2} }{c} = \dfrac{NA}{AL} \Rightarrow AL=c \Rightarrow OL=c-a$

$tan \theta = \dfrac{OQ}{OL} \Rightarrow \dfrac{b}{2c}= \dfrac{OQ}{c-a} \Rightarrow OQ= \dfrac{bc-ab}{2c}$

Τώρα, $BQ=b-OQ= \dfrac{bc+ab}{2c} ,QD=OQ+d= \dfrac{bc-ab+2cd}{2c}=(ab=cd)= \dfrac{bc+ab}{2c} =BQ$

: Ισεμβαδικά ορθογώνια.png (24.48 KiB) Προβλήθηκε 1294 φορές

KARKAR · #11

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Ιαν 16, 2021 9:09 am
Σχόλιο: Αν αντιμετώπιζα την ερώτηση εξ αρχής, μόνο γι' αυτό το ερώτημα, δεν χρειάζονται τα παραπάνω.

Η άσκηση είναι πολύ απλή με Αναλυτική Γεωμετρία (αρχή αξόνων το ) αφού από τις συντεταγμενες

των μέσων και , βρίσκουμε την εξίσωση της ευθείας , και άρα το .

: Ισεμβαδικά ορθογώνια.png (11.84 KiB) Προβλήθηκε 1286 φορές

Μιχάλη , δοκίμασα και με αρχή το

και με αρχή το

.

Φυσικά με κάθε επιλογή το αποτέλεσμα βγαίνει , έχει όμως αρκετές πράξεις .

Πιο σύντομη , ίσως , είναι η λύση με απόδειξη της συνευθειακότητας των τριών μέσων .

Είναι : $\lambda_{MQ}=\dfrac{b}{-2c}$ και $\lambda_{QN}=\dfrac{-d}{2a}$ , άρα οι κλίσεις είναι ίσες , αφού : ab=cd

.

KARKAR · #12

Δείτε την ενδιαφέρουσα "επίσημη" λύση στην σελίδα

της παραπομπής .

Ας τολμήσω κι ένα σχόλιο : Νομίζω ότι το ευχάριστο αυτό θεματάκι ,

έτυχε περισσότερης προσοχής , απ' όση του αναλογούσε !

#13

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιαν 16, 2021 12:52 pm Ισεμβαδικά ορθογώνια.pngΜιχάλη , δοκίμασα και με αρχή το και με αρχή το και με αρχή το .

Φυσικά με κάθε επιλογή το αποτέλεσμα βγαίνει , έχει όμως αρκετές πράξεις .

Πιο σύντομη , ίσως , είναι η λύση με απόδειξη της συνευθειακότητας των τριών μέσων .

Είναι : $\lambda_{MQ}=\dfrac{b}{-2c}$ και $\lambda_{QN}=\dfrac{-d}{2a}$ , άρα οι κλίσεις είναι ίσες , αφού : .

Θανάση, ο τρόπος που το έκανα είναι γυρίζοντας το σχήμα 90^o

με την φορά των δεικτών του ρολογιού και με αρχή των αξόνων την τομή των TD, AS

.

Οι πράξεις είναι απλές (και σχετικά λίγες). Μόνο προσοχή σε ένα βήμα προς το τέλος όπου εμφανίζεται το άθροισμα δύο κλασμάτων. Σε αυτά δεν κάνουμε τις πράξεις και μετά αξιοποιούμε την ab=cd

αλλά αφήνουμε το ένα κλάσμα ως έχει και δουλεύουμε μόνο με το άλλο.

Υπόψη ότι αποδεικνύεται και το αντίστροφο, με ελάχιστη παραπάνω δουλειά. Δηλαδή ισχύει

ab=cd

αν και μόνον αν το

είναι μέσον.

Ισεμβαδικά ορθογώνια

Ισεμβαδικά ορθογώνια

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια

Μέλη σε σύνδεση