Τριχοτόμοι

KARKAR · #1

: Τριχοτόμοι.png (15.54 KiB) Προβλήθηκε 1005 φορές

Στο τρίγωνο ABC

είναι $\hat{B}=3\theta$ και $\hat{C}=2\theta$ . Οι δύο τριχοτόμοι της $\hat{B}$ , τέμνουν τη διχοτόμο της $\hat{C}$

στα σημεία S , T

. Δείξτε ότι $\widehat{BAS}=\widehat{CAT}$ και συγκρίνατε τις $\widehat{BAS} ,\widehat{SAT}$ , για τις διάφορες τιμές

της γωνίας $\theta , (0^0 < \theta < 36^0)$ .

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Φεβ 17, 2021 1:55 pm Τριχοτόμοι.pngΣτο τρίγωνο είναι $\hat{B}=3\theta$ και $\hat{C}=2\theta$ . Οι δύο τριχοτόμοι της $\hat{B}$ , τέμνουν τη διχοτόμο της $\hat{C}$

στα σημεία . Δείξτε ότι $\widehat{BAS}=\widehat{CAT}$ και συγκρίνατε τις $\widehat{BAS} ,\widehat{SAT}$ , για τις διάφορες τιμές

της γωνίας $\theta , (0^0 < \theta < 36^0)$ .

Isogonic Jacobi theorem

nickchalkida · #3

Ας είναι

η τομή της

με την προέκταση της

και

η τομή της

με την προέκταση της

.
Γράφω τον κύκλο (T,TC)

, τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\triangle ABC$ ,
φέρω την

και προεκτείνω. (...τα υπόλοιπα όπως στο σχήμα)

$\displaystyle{ \begin{aligned} & \left. \begin{aligned} &\triangle BST = \triangle TDC \rightarrow ST=TD \cr & EBC \ isoskeles\ and\ ST=TD \rightarrow SE=ED \cr & ET \ common\cr \end{aligned} \right\} \rightarrow \triangle EST = \triangle EDT \end{aligned} }$

τότε η

είναι διχοτόμος του ισοσκελούς EBC

άρα διάμεσος και διχοτόμος
και επομένως η

είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του $\triangle ABC$ .

Επειδή τώρα $\overset{\frown}{BNA} = \overset{\frown}{CUR}=4\theta$
και η διάμετρος

τέμνει κάθετα την χορδή

έχει άμεση συνέπεια ότι
$AR \parallel BC$ και ότι η

διχοτομεί τα τόξα $\overset{\frown}{AR}$ , $\overset{\frown}{BC}$ .

Εκ τούτου οι "ανοικτό πράσινες" γωνίες είναι ίσες από το οποίο
εύκολα συνεπάγεται ότι $\triangle BTF= \triangle CTG$ και BF = GC

οπότε $\angle BAF = \angle GAC$ .

Τέλος (χωρίς απόδειξη)

Αν εκτός του περιγεγραμμένου κύκλου του $\triangle ABC$ τότε $\angle BAS > \angle SAT$ .

Αν επί του περιγεγραμμένου κύκλου του $\triangle ABC$ τότε $\angle BAS = \angle SAT$ .

Αν εντός του περιγεγραμμένου κύκλου του $\triangle ABC$ τότε $\angle BAS < \angle SAT$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Τετ Φεβ 17, 2021 1:55 pm Τριχοτόμοι.pngΣτο τρίγωνο είναι $\hat{B}=3\theta$ και $\hat{C}=2\theta$ . Οι δύο τριχοτόμοι της $\hat{B}$ , τέμνουν τη διχοτόμο της $\hat{C}$

στα σημεία . Δείξτε ότι $\widehat{BAS}=\widehat{CAT}$ και συγκρίνατε τις $\widehat{BAS} ,\widehat{SAT}$ , για τις διάφορες τιμές

της γωνίας $\theta , (0^0 < \theta < 36^0)$ .

Το πρώτο ερώτημα προς το παρόν

Έστω ότι ο κύκλος (A,S,B)

τέμνει την

στο

Λόγω ισότητας των γωνιών ίδιου χρώματος,τα ισοσκελή τρίγωνα BTC,EAC

είναι όμοια,όπως επίσης τα ASB,EBC

Έτσι, $\dfrac{TC}{AC}= \dfrac{BC}{EC}$ και $\dfrac{BC}{EC}=\dfrac{BS}{AB}$ απ όπου $\dfrac{TC}{AC} = \dfrac{BS}{AB}$

Έτσι,τα τρίγωνα ABS,ATC

είναι όμοια,άρα $\angle x= \angle y$

: τριχοτόμοι.png (46.74 KiB) Προβλήθηκε 827 φορές

Τριχοτόμοι

Τριχοτόμοι

Re: Τριχοτόμοι

Re: Τριχοτόμοι

Re: Τριχοτόμοι

Μέλη σε σύνδεση