Διπλασιασμός

KARKAR · #1

: Διπλασιασμός.png (13.74 KiB) Προβλήθηκε 1012 φορές

Με τα σημεία D , E

τριχοτομήσαμε την κάθετη πλευρά

, ορθογωνίου τριγώνου ABC

.

Πώς θα επιλέξετε σημείο

της

, ώστε αν P,T

, είναι οι τομές του

με τα τμήματα

CD , CE

αντίστοιχα , να προκύψει BT=2TP

;

Manolis Petrakis · #2

Καλησπέρα!
Από θ. Μενελάου στο BPD

με τέμνουσα CTE

είναι:
$\dfrac{BE}{ED}\cdot\dfrac{DC}{CP}\cdot \dfrac{PT}{TB}=1\Leftrightarrow 1\cdot \dfrac{DC}{CP}\cdot \dfrac{1}{2}=1\Leftrightarrow \dfrac{DC}{CP}=2\Leftrightarrow CP=PD \ (1)$
Από θ. Μενελάου στο ACD

με τέμνουσα SPB

είναι:
$\dfrac{CS}{SA}\cdot\dfrac{AB}{BD}\cdot \dfrac{DP}{PC}=1\stackrel{(1)}{\Leftrightarrow} \dfrac{CS}{SA}\cdot \dfrac{3}{2}\cdot 1=1 \Leftrightarrow \dfrac{CS}{SA}=\dfrac{2}{3}$ από όπου προσδιορίζεται η θέση του

στην

#3

Αρκεί να ενώσω το μέσο

του σταθερού

με το

.

(Ιδιότητα του βαρυκέντρου γάρ)

#4

Doloros έγραψε: Πέμ Μαρ 04, 2021 4:02 pm Αρκεί να ενώσω το μέσο του σταθερού με το .

(Ιδιότητα του βαρυκέντρου γάρ)

Με συνοπτικές διαδικασίες

#5

Οι

τέμνουν την

στα

αντίστοιχα.

: Διπλασιασμός.Κ.png (14.35 KiB) Προβλήθηκε 958 φορές

$\displaystyle \frac{{BT}}{{TP}} = 2 = \frac{{BD}}{{AD}} \Leftrightarrow AP||DT$ και BM=2MN,

άρα

είναι το μέσο της BC.

Το

προσδιορίζεται ως το σημείο τομής των DM, CE

και η

τέμνει την

στο ζητούμενο σημείο

KARKAR · #6

: Διπλασιασμός.png (13.74 KiB) Προβλήθηκε 928 φορές

Μια κάπως δυσκολότερη παραλλαγή : Να βρεθεί η κατάλληλη θέση του

, ώστε :

.

STOPJOHN · #7

KARKAR έγραψε: Παρ Μαρ 05, 2021 10:15 am Διπλασιασμός.png Μια κάπως δυσκολότερη παραλλαγή : Να βρεθεί η κατάλληλη θέση του , ώστε : .

Είναι

Στο τρίγωνο ASB

με τέμνουσα

$CPD,\dfrac{PB}{SP}\dfrac{CS}{CA}\dfrac{AP}{PB}=1 \Rightarrow TP=\dfrac{2tx}{b-x},(1)$

Στο τρίγωνο ASB

με τέμνουσα $CTE,\dfrac{TB}{ST}\dfrac{SC}{AC}\dfrac{AE}{EB}=1\Rightarrow TP=t.\dfrac{3b-4x}{b},(2), (1),(2)\Rightarrow 4x^{2}-9bx+3b^{2}=0\Rightarrow x=b.\dfrac{9-\sqrt{33}}{8}$

#8

KARKAR έγραψε: Παρ Μαρ 05, 2021 10:15 am Διπλασιασμός.png Μια κάπως δυσκολότερη παραλλαγή : Να βρεθεί η κατάλληλη θέση του , ώστε : .

Θέτω

οπότε

Στο σχήμα έχω φέρει $\displaystyle DL||EK||BS$ και προφανώς τα M, K, L

είναι μέσα των PD, SL, AK

αντίστοιχα. Είναι, $\displaystyle ME = \frac{{2x + y}}{2},LD = \frac{{KE}}{2},KM = \frac{{x + LD}}{2}$

: Διπλασιασμός.ΚΙΙ.png (15.6 KiB) Προβλήθηκε 884 φορές

$\displaystyle \frac{x}{y} = \frac{{KM}}{{ME}} = \frac{{2KM}}{{2x + y}} \Leftrightarrow$ $\boxed{KM = \frac{{x(2x + y)}}{{2y}}}$ (1)

$\displaystyle LD = \frac{{KM + ME}}{2} = \frac{{KM + \frac{{2x + y}}{2}}}{2} = \frac{{2KM + 2x + y}}{4} \Leftrightarrow 2KM - x = \frac{{2KM + 2x + y}}{4}$

$KM = \frac{{6x + y}}{6}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} {y^2} + 3xy - 6{x^2} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{y = \frac{x}{2}\left( {\sqrt {33} - 3} \right)}$ (2)

Τέλος, $\displaystyle \frac{{CT}}{{CE}} = \frac{y}{{ME}} = \frac{{2y}}{{2x + y}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(2)}$ $\boxed{\frac{{CT}}{{CE}} = \frac{{9 - \sqrt {33} }}{4}}$

Έτσι εντοπίζεται η θέση του

άρα και του

Διπλασιασμός

Διπλασιασμός

Re: Διπλασιασμός

Re: Διπλασιασμός

Re: Διπλασιασμός

Re: Διπλασιασμός

Re: Διπλασιασμός

Re: Διπλασιασμός

Re: Διπλασιασμός

Μέλη σε σύνδεση