Δεν υπάρχει τέτοιο ισοσκελές τρίγωνο

#1

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ισοσκελές τρίγωνο που τα μέτρα των πλευρών του να είναι φυσικοί αριθμοί και που το εμβαδόν του
και η περίμετρός του να εκφράζονται από τον ίδιο αριθμό.

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 14, 2022 12:49 am
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ισοσκελές τρίγωνο που τα μέτρα των πλευρών του να είναι φυσικοί αριθμοί και που το εμβαδόν του
και η περίμετρός του να εκφράζονται από τον ίδιο αριθμό.

Καλημέρα Δημήτρη!

Έστω

η βάση του ισοσκελούς και

η καθεμία από τις ίσες πλευρές. Αν υπάρχει τέτοιο τρίγωνο θα πρέπει:

$\displaystyle 2x + a = \frac{a}{4}\sqrt {4{x^2} - {a^2}} \Leftrightarrow {(8x + 4a)^2} = {a^2}(4{x^2} - {a^2}) \Leftrightarrow$

$\displaystyle 4(16 - {a^2}){x^2} + 64ax + {a^2}({a^2} + 16) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{a}{2}$ ή $\displaystyle x = \frac{{a({a^2} + 16)}}{{2({a^2} - 16)}},$ a>4

Η πρώτη ρίζα απορρίπτεται γιατί είναι αρνητική. H δεύτερη απορρίπτεται αν ο

είναι περιττός γιατί δίνει αριθμητή περιττό και παρονομαστή άρτιο. Αν a=2k,

ο

γράφεται:

$\displaystyle x = \frac{{k(4{k^2} + 16)}}{{4{k^2} - 16}} = \frac{{k(4{k^2} - 16) + 32k}}{{4{k^2} - 16}} = k + \frac{8}{{(k - 2)(k + 2)}} \Leftrightarrow$ $\boxed{x = k + \frac{4}{{k + 2}} + \frac{4}{{k - 2}},k > 2}$

που δεν μπορεί να είναι φυσικός αριθμός.

Δεν υπάρχει τέτοιο ισοσκελές τρίγωνο

Δεν υπάρχει τέτοιο ισοσκελές τρίγωνο

Re: Δεν υπάρχει τέτοιο ισοσκελές τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση