Ώρα εφαπτομένης 127

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 17564
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα εφαπτομένης 127

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR »

Ώρα εφαπτομένης 127.png
Ώρα εφαπτομένης 127.png (6.33 KiB) Προβλήθηκε 750 φορές
Στο εσωτερικό του τετραγώνου ABCD να εντοπίσετε - με κανόνα και διαβήτη - σημείο S ,

το οποίο να ισαπέχει από την κορυφή D και τις πλευρές AB και BC . Πιθανόν να σας

βοηθήσει ο υπολογισμός της \tan \theta , κάτι το οποίο είναι - έτσι κι αλλιώς - ζητούμενο .
Ετικέτες:
εφαπτομένη
κανόνας
τετράγωνο
Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18362
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 127

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou »

KARKAR έγραψε: Τρί Μαρ 01, 2022 7:47 pm Ώρα εφαπτομένης 127.pngΣτο εσωτερικό του τετραγώνου ABCD να εντοπίσετε - με κανόνα και διαβήτη - σημείο S ,

το οποίο να ισαπέχει από την κορυφή D και τις πλευρές AB και BC . Πιθανόν να σας

βοηθήσει ο υπολογισμός της \tan \theta , κάτι το οποίο είναι - έτσι κι αλλιώς - ζητούμενο .
Υπάρχουν πολλοί τρόποι, αλλά κάνω έναν με Αναλυτική Γεωμετρία.

Με αρχή των αξόνων το A έχουμε B(a,0), \, D(0,a). Αν AT = s, τότε ST=TB=a-s, οπότε οι συντεταγμένες του S είναι S(s,a-s). Είναι SD^2=(s-0)^2+(a+s-a)^2= 2s^2, οπότε η ισότητα SD = ST δίνει s\sqrt 2 = a-s. Άρα s=a(\sqrt 2-1) και \tan \theta = \dfrac {ST}{AT} = \dfrac {a-a(\sqrt 2 -1)}{a(\sqrt 2-1) } = \sqrt 2. Τα υπόλοιπά τώρα είναι άμεσα, δεδομένου ότι το S είναι στην τομή της διαγωνίου BD (διότι ST=SP) και της ακτίνας AS γνωστής, κατασκευάσιμης, γωνίας.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10825
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 127

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros »

KARKAR έγραψε: Τρί Μαρ 01, 2022 7:47 pm Ώρα εφαπτομένης 127.pngΣτο εσωτερικό του τετραγώνου ABCD να εντοπίσετε - με κανόνα και διαβήτη - σημείο S ,

το οποίο να ισαπέχει από την κορυφή D και τις πλευρές AB και BC . Πιθανόν να σας

βοηθήσει ο υπολογισμός της \tan \theta , κάτι το οποίο είναι - έτσι κι αλλιώς - ζητούμενο .
Τα T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,P ορίζονται από τις διχοτόμους DT\,,\,\,DP των σταθερών ορθογωνίων και ισοσκελών τριγώνων DAB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DBC.

Το S είναι το περίκεντρο του \vartriangle DTP.

Ας είναι a\,\,,\,\,x οι πλευρές μεγάλου και μικρού τετραγώνου .
Ώρα Εφαπτομένης 127.png
Ώρα Εφαπτομένης 127.png (12.91 KiB) Προβλήθηκε 727 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{gathered} x + x\sqrt 2 = a\sqrt 2 \hfill \\ AT = a - x \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = a\left( {2 - \sqrt 2 } \right) \hfill \\ AT = a\left( {\sqrt 2 - 1} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.. Άρα \boxed{\tan \theta = \frac{{TS}}{{TA}} = \sqrt 2 }.
Κορυφή
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2724
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ώρα εφαπτομένης 127

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN »

KARKAR έγραψε: Τρί Μαρ 01, 2022 7:47 pm Ώρα εφαπτομένης 127.pngΣτο εσωτερικό του τετραγώνου ABCD να εντοπίσετε - με κανόνα και διαβήτη - σημείο S ,

το οποίο να ισαπέχει από την κορυφή D και τις πλευρές AB και BC . Πιθανόν να σας

βοηθήσει ο υπολογισμός της \tan \theta , κάτι το οποίο είναι - έτσι κι αλλιώς - ζητούμενο .
Για την ανάλυση στο σχήμα 1 .

Είναι LS=LD,\hat{DSL}=45^{0}=\omega =\hat{SPD}=\hat{SDP}=\hat{CDP},

Οποτε τα σημεία D,S,B είναι συνευθειακά

Για τη κατασκευή

x+SB=DB\Rightarrow x=a(2-\sqrt{2}),MB=\dfrac{x}{2}=a-\dfrac{DB}{2},ML\perp AB,

Ο κύκλος (κόκκινος ) (L,LB) τέμνει την AB στο σημείο T,TS\perp AB

tan\theta =\dfrac{x}{a-x}=\sqrt{2}
Συνημμένα
Ωρα εφαπτομένης 127 κατασκευή.png
Ωρα εφαπτομένης 127 κατασκευή.png (14.91 KiB) Προβλήθηκε 674 φορές
Ωρα εφαπτομένης 127 σχήμα 1.png
Ωρα εφαπτομένης 127 σχήμα 1.png (10.51 KiB) Προβλήθηκε 674 φορές
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 314
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:
Επικοινωνία nickchalkida

Re: Ώρα εφαπτομένης 127

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida »

Το S ισαπέχει από AB, CB, \rightarrow S επί της DB και S ισαπέχει από D, AB, \rightarrow S επί της παραβολής (AB, D). Είναι τότε

\displaystyle{ \begin{aligned} {DC^2 \over ES^2} = {KD \over KE} & \rightarrow {a^2 \over x^2} = \dfrac{\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a}{2}-x} \cr & \rightarrow x^2=a^2-2ax \rightarrow {a^2 \over x^2} - 2{a \over x}-1=0 \rightarrow {a \over x} = 1 \pm \sqrt{2} \cr \tan(\theta) = {a -x \over x} & \rightarrow \tan(\theta) = \sqrt{2} \cr \end{aligned} }
Συνημμένα
rsz_1parab27.png
rsz_1parab27.png (31.56 KiB) Προβλήθηκε 668 φορές
Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Κορυφή
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 3314
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 127

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης »

KARKAR έγραψε: Τρί Μαρ 01, 2022 7:47 pm Ώρα εφαπτομένης 127.pngΣτο εσωτερικό του τετραγώνου ABCD να εντοπίσετε - με κανόνα και διαβήτη - σημείο S ,

το οποίο να ισαπέχει από την κορυφή D και τις πλευρές AB και BC . Πιθανόν να σας

βοηθήσει ο υπολογισμός της \tan \theta , κάτι το οποίο είναι - έτσι κι αλλιώς - ζητούμενο .
Το S είναι το έκκεντρο του ορθογωνίου ισοσκελούς τριγώνου EBZ με

κάθετες πλευρές BE=BZ=2a(Απλή η απόδειξη)

tan \theta = \dfrac{ST}{AT} = \dfrac{DS}{CP}= \dfrac{SB}{PB}= \sqrt{2}
ώρα εφαπτομένης 127.png
ώρα εφαπτομένης 127.png (30.78 KiB) Προβλήθηκε 646 φορές
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης