Ένα τέταρτο

KARKAR · #1

: Ένα τέταρτο.png (27.13 KiB) Προβλήθηκε 1213 φορές

Στο παραλληλόγραμμο ABCD

, επιλέξτε σημεία S , T

των πλευρών BC , CD

αντίστοιχα ,

τέτοια ώστε : $ST \parallel BD$ και : $(AST)=\dfrac{1}{4}(ABCD)$ .

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Νοέμ 30, 2023 8:20 pm Ένα τέταρτο.pngΣτο παραλληλόγραμμο , επιλέξτε σημεία των πλευρών αντίστοιχα ,

τέτοια ώστε : $ST \parallel BD$ και : $(AST)=\dfrac{1}{4}(ABCD)$ .

Έστω

Είναι $\displaystyle \frac{x}{a} = \frac{y}{b} \Leftrightarrow y = \frac{{bx}}{a}$ (1)

: Ένα τέταρτο.png (17.61 KiB) Προβλήθηκε 1181 φορές

$\displaystyle (ADT) + (ABS) + (CTS) = \frac{3}{4}(ABCD) \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {b(a - x) + a(b - y) + xy} \right)\sin B = \frac{3}{4}ab\sin B$

και από την (1)

καταλήγω στην εξίσωση $\displaystyle 2{x^2} - 4ax + {a^2} = 0,$ απ' όπου παίρνω τη δεκτή ρίζα $\boxed{x = \frac{a}{2}\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}$

Σημείωση: Ο γνωστός τύπος $\displaystyle (ABC) = \frac{1}{2}bc\sin A$ (άγνωστος ωστόσο για τους μαθητές γυμνασίου),
αποδεικνύεται εύκολα με γυμνασιακή τριγωνομετρία $\displaystyle \sin A = \frac{{{h_b}}}{c} = \frac{{{h_c}}}{b}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: Πέμ Νοέμ 30, 2023 8:20 pm Ένα τέταρτο.pngΣτο παραλληλόγραμμο , επιλέξτε σημεία των πλευρών αντίστοιχα ,

τέτοια ώστε : $ST \parallel BD$ και : $(AST)=\dfrac{1}{4}(ABCD)$ .

Με $AT \cap BC={N}$ και SM//AN

είναι $(ATS)=(TMA)= \dfrac{(ABCD)}{4}$ άρα $(TMB)= \dfrac{(ABCD)}{4}$

συνεπώς

μέσον της

άρα και

μέσον της

Αν

τότε

και

και $\dfrac{b-2x}{b}= \dfrac{CT}{TD}= \dfrac{x}{b-x} \Leftrightarrow 2x^2-4bx+b^2=0$

με δεκτή λύση $\dfrac{b}{2} (2- \sqrt{2})$

: ένα τέταρτο.png (16.2 KiB) Προβλήθηκε 1130 φορές

#4

KARKAR έγραψε: Πέμ Νοέμ 30, 2023 8:20 pm Ένα τέταρτο.pngΣτο παραλληλόγραμμο , επιλέξτε σημεία των πλευρών αντίστοιχα ,

τέτοια ώστε : $ST \parallel BD$ και : $(AST)=\dfrac{1}{4}(ABCD)$ .

Έστω λυμένο το πρόβλημα και Z,H

τα σημεία τομής της

με τις

.

Η από το

παράλληλη στην

τέμνει τις $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BT$ στα $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,J$ .

Η διαγώνιος

θα διέρχεται από τα μέσα των βάσεων του τραπεζίου , ZHST

.

Επειδή , $\left( {AHZ} \right) = \left( {BJH} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {AZD} \right) = \left( {BZT} \right)$ , θα ισχύουν:

: Ενα τέταρτο_κατασκευή_new.png (18.42 KiB) Προβλήθηκε 1066 φορές

$\left( {ATJ} \right) = \left( {TZB} \right) + \left( {TJS} \right) = \left( {AZD} \right) + \left( {AZO} \right) = \left( {ADO} \right) = \dfrac{1}{4}\left( {ABCD} \right)$ .

Θέτω : $AE = m\,\,,\,\,ED = x\,\,,\,\,DZ = HE = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZH = d$ . Είναι γνωστό δε ότι EZ = ZJ

.

$\dfrac{{AE}}{{ED}} = \dfrac{m}{x} = \dfrac{{d + k}}{k} = \dfrac{d}{k} + 1 = \dfrac{{ZJ}}{{AB}} + 1 = \dfrac{{EZ}}{{AB}} + 1 = \dfrac{x}{{m + x}} + 1$ και άρα :

$\dfrac{m}{x} = \dfrac{x}{{m + x}} + 1 = \dfrac{{m + 2x}}{{m + x}} \Rightarrow {m^2} + mx = mx + 2{x^2} \Rightarrow \boxed{m = x\sqrt 2 }$ .

Κατασκευή .

Χωρίζω εσωτερικά την

από το

σε λόγο $\sqrt 2$ . Η από το

παράλληλη στην

τέμνει τη

στο

.

Η

τέμνει την

στο

και η από το

παράλληλη στην

τέμνει την

στο

.

Ένα τέταρτο

Ένα τέταρτο

Re: Ένα τέταρτο

Re: Ένα τέταρτο

Re: Ένα τέταρτο

Μέλη σε σύνδεση