Συντεταγμένη κατασκευή

KARKAR · #1

: Συντεταγμένη κατασκευή.png (17.4 KiB) Προβλήθηκε 170 φορές

Οι συντεταγμένες των κορυφών A , B

, του τριγώνου ABC

φαίνονται στο σχήμα . Η κάθετη

από το

προς την διάμεσο

, τέμνει την

στο

. Αν :

, βρείτε την τετμημένη του

.

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Απρ 27, 2026 2:41 pm Συντεταγμένη κατασκευή.pngΟι συντεταγμένες των κορυφών , του τριγώνου φαίνονται στο σχήμα . Η κάθετη από το

προς την διάμεσο , τέμνει την στο . Αν : , βρείτε την τετμημένη του .

.
Ισοδύναμα θέλουμε (ABM)=(BSC)

. Επειδή η βάση του δεύτερου τριγώνου είναι διπλάσια της βάσης του πρώτου, σημαίνει ότι το ύψος του πρέπει να είναι το μισό του ύψους του πρώτου τριγώνου, δηλαδή πρέπει η τεταγμένη y_S

του

να έχει μήκος

.

Έστω

(ζητούμενο), οπότε $M\left ( \dfrac {c-3}{2}, \, 0\right )$ . Από την κλίση της

, που είναι $\dfrac {8}{3-c}$ συμπεραίνουμε ότι η

έχει εξίσωση

$y= \dfrac {c-3}{8}(x+3)$ .

Η

έχει εξίσωση $y= -\dfrac {4}{c} (x-c)$ , οπότε η τομή

των δύο αυτών ευθειών έχει (λύνουμε το σύστημα) $y_S=\dfrac {4(c^2-9)}{c^2-3c+32}$

Άρα θέλουμε $\dfrac {4(c^2-9)}{c^2-3c+32}=2$ .

Λύνοντας την εξίσωση θα βρούμε $\boxed {c= \dfrac {1}{2} (-3\pm \sqrt {209} )}$ . Kαι τα δύο μας κάνουν αλλά αυτό που είναι συμβατό με το σχήμα είναι το "+".

Nikitas K. · #3

KARKAR έγραψε: Δευ Απρ 27, 2026 2:41 pm Συντεταγμένη κατασκευή.png Οι συντεταγμένες των κορυφών , του τριγώνου φαίνονται στο σχήμα . Η κάθετη από το

προς την διάμεσο , τέμνει την στο . Αν : , βρείτε την τετμημένη του .

: Συντεταγμένη κατασκευή ( C στον θετικό ημιάξονα ).png (34.09 KiB) Προβλήθηκε 109 φορές

Αν το σημείο

βρίσκεται στο θετικό ημιάξονα:

Η σεβιανή

είναι διάμεσος ανν $(ABM) = (AMC)\Leftrightarrow (ABT) + (BTM) = (STMC) + (ATS)\Leftrightarrow (BTM) = (ATS)$

(SBC) = (BTM) + (STMC) = (ATS) + (ABT) = (ABS)

ανν η σεβιανή

είναι διάμεσος.

Επομένως το σημείο

είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου $\triangle ABC$

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στα τρίγωνα $\triangle ABT$ , $\triangle BTM$ , $\triangle ATS$ και $\triangle AOC$ προκύπτει το παρακάτω σύστημα:

$\displaystyle {\begin{Bmatrix} (2x)^2 + (2y)^2 = 5^2 \\\\ x^2 + (2y)^2 = \left( \dfrac{a}{2} \right)^2 \\\\ (2x)^2 + y^2 = \left( \dfrac{b}{2} \right)^2 \\\\ (a-3)^2 + 4 = b^2 \end{Bmatrix} \Leftrightarrow \begin{Bmatrix} 4x^2 = 25 - 4y^2 \\\\ (4x^2) + 16y^2 = a^2 \\\\ b^2 = 4(4x^2) + 4y2 \\\\ (a-3)^2 + 4 = b^2 \end{Bmatrix} \Leftrightarrow \begin{Bmatrix} 4x^2 = 25 - 4y^2 \\\\\ 12y^2 = a^2 - 25 \\\\ b^2 = 100 - (12y^2) \\\\ (a-3)^2 + 4 = (b^2) \end{Bmatrix}}$

Από όπου λαμβάνουμε $a^2 - 3a - 50 = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{3+\sqrt{209}}{2}$ και συνεπώς $C\left(\dfrac{-3+\sqrt{209}}{2},0\right)$

KARKAR · #4

: Συντεταγμένη κατασκευή.png (16.82 KiB) Προβλήθηκε 94 φορές

Εφόσον το

είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου , ο κύκλος με κέντρο το μέσο

της

και ακτίνα $\dfrac{15}{2}$

μας δίνει το σημείο

...

Nikitas K. · #5

KARKAR έγραψε: Τρί Απρ 28, 2026 9:03 am Συντεταγμένη κατασκευή.pngΕφόσον το είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου , ο κύκλος με κέντρο το μέσο της και ακτίνα $\dfrac{15}{2}$

μας δίνει το σημείο ...

#6

KARKAR έγραψε: Δευ Απρ 27, 2026 2:41 pm Συντεταγμένη κατασκευή.pngΟι συντεταγμένες των κορυφών , του τριγώνου φαίνονται στο σχήμα . Η κάθετη από το

προς την διάμεσο , τέμνει την στο . Αν : , βρείτε την τετμημένη του .

Έχει ήδη αποδειχθεί πιο πάνω ότι η

είναι διάμεσος.

: Συντεταγμένη κατασκευή.png (11.82 KiB) Προβλήθηκε 86 φορές

$m_a\bot m_b$ και από γνωστή άσκηση, m_a^2+m_b^2=m_c^2,

απ' όπου

$(x+3)^2+x^2+16=5\cdot 25,$ κ.λπ

Συντεταγμένη κατασκευή

Συντεταγμένη κατασκευή

Re: Συντεταγμένη κατασκευή

Re: Συντεταγμένη κατασκευή

Re: Συντεταγμένη κατασκευή

Re: Συντεταγμένη κατασκευή

Re: Συντεταγμένη κατασκευή

Μέλη σε σύνδεση