Λίγο παραπάνω

KARKAR · #1

: Λίγο παραπάνω.png (5.62 KiB) Προβλήθηκε 115 φορές

Σημείο

κινείται στο εσωτερικό της πλευράς AB=a

, του τετραγώνου ABCD

. Φέρω : $DT \perp CS$ .

Δείξτε ότι : (DTS) >(DAS)

και υπολογίστε την διαφορά (DTS) -(DAS)

, όταν : $AS=\dfrac{2a}{3}$ .

Αν χρησιμοποιήσετε συντεταγμένες θα βαθμολογηθείτε μόνο με το $87\%$ των προβλεπόμενων μορίων

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 03, 2026 11:45 am
Λίγο παραπάνω.pngΣημείο κινείται στο εσωτερικό της πλευράς , του τετραγώνου . Φέρω : $DT \perp CS$ .

Δείξτε ότι : και υπολογίστε την διαφορά , όταν : $AS=\dfrac{2a}{3}$ .

Αν χρησιμοποιήσετε συντεταγμένες θα βαθμολογηθείτε μόνο με το $87\%$ των προβλεπόμενων μορίων

$\displaystyle (SDC) = (SDN) + (SNC) \Leftrightarrow (DTS) + (DTC) = (DAS) + (DLC) \Leftrightarrow$

$\displaystyle (DTS) - (DAS) = (DLC) - (DTC) = (CTL) > 0$

: Λίγο παραπάνω.png (11.04 KiB) Προβλήθηκε 104 φορές

$\displaystyle CL = SB = \frac{a}{3},CB = a\mathop \Rightarrow \limits^{\Pi .\Theta } CS = \frac{{a\sqrt {10} }}{3}$

$\displaystyle \sin \theta = \frac{{CT}}{a} = \frac{{SB}}{{CS}} = \frac{1}{{\sqrt {10} }} \Leftrightarrow CT = \frac{a}{{\sqrt {10} }}$

Άρα, $\displaystyle (CTL) = \frac{1}{2}CT \cdot CL\sin \theta = \frac{1}{2}\frac{a}{{\sqrt {10} }}\frac{a}{3}\frac{1}{{\sqrt {10} }} \Leftrightarrow$ $\boxed{(DTS) -(DAS)=\dfrac{a^2}{60}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 03, 2026 11:45 am
Λίγο παραπάνω.pngΣημείο κινείται στο εσωτερικό της πλευράς , του τετραγώνου . Φέρω : $DT \perp CS$ .

Δείξτε ότι : και υπολογίστε την διαφορά , όταν : $AS=\dfrac{2a}{3}$ .

Αν χρησιμοποιήσετε συντεταγμένες θα βαθμολογηθείτε μόνο με το $87\%$ των προβλεπόμενων μορίων

Στο παρακάτω σχήμα,

είναι μέσον της

a) Στον κύκλο (A,S,T,D)

προφανώς είναι DT<a=AD

άρα $\phi > \theta \Rightarrow 180^0-2 \phi <180^0-2 \theta \Rightarrow \angle AMS< \angle SMT$

άρα TQ>QA

και $sinAMS=sin(180^0-2 \phi )=sin2 \phi$ , $sinTMS=sin(180^0-2 \theta )=sin2 \theta$

$\dfrac{(DTS)}{(DAS)}= \dfrac{TQ}{QA} >1 \Rightarrow (DTS)>(DTS)$

b) $(DTS)-(DAS)=2(TMS)-2(MSA)= \dfrac{DS^2}{4} (sin2 \theta -sin2 \phi )(1)$

Από το τρίγωνο DAS

με Π.Θ είναι $DS= \dfrac{a \sqrt{13} }{3}$ και $sin \phi = \dfrac{3}{ \sqrt{13} } ,cos \phi = \dfrac{2}{ \sqrt{13} }$ άρα $sin2 \phi = \dfrac{12}{13}$

Από το τρίγωνο CBS

με Π.Θ είναι $CS= \dfrac{a \sqrt{10} }{3}$

$2(DSC)=DS.CS. sin \theta \Rightarrow a^2= \dfrac{a \sqrt{13} }{3} . \dfrac{a \sqrt{10} }{3} \Rightarrow sin \theta = \dfrac{9}{ \sqrt{130} }$

συνεπώς $cos \theta = \dfrac{7}{ \sqrt{130} }$ άρα $sin2 \theta = \dfrac{63}{65}$

Εύκολα τώρα με αντικατάσταση στην $(1) \Rightarrow (DTS)-(DAS)= \dfrac{a^2}{60}$

: Λίγο παραπάνω.png (47.92 KiB) Προβλήθηκε 32 φορές

Λίγο παραπάνω

Λίγο παραπάνω

Re: Λίγο παραπάνω

Re: Λίγο παραπάνω

Μέλη σε σύνδεση