Μέγιστη γωνία 23

KARKAR · #1

: Μέγιστη γωνία.png (6.31 KiB) Προβλήθηκε 890 φορές

Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , τα μήκη των πλευρών

και

είναι σταθερά , ενώ εκείνο

της

μεταβάλλεται . Βρείτε τη θέση της κορυφής

, για την οποία η γωνία $\hat{C}$ μεγιστοποιείται .

Αφού λύσετε το θέμα για τις δοθείσες τιμές , γενικεύστε . Καλύτερα να αποφύγετε την παράγωγο !

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 25, 2019 8:23 am
Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , τα μήκη των πλευρών και είναι σταθερά , ενώ εκείνο

της μεταβάλλεται . Βρείτε τη θέση της κορυφής , για την οποία η γωνία $\hat{C}$ μεγιστοποιείται .

Αφού λύσετε το θέμα για τις δοθείσες τιμές , γενικεύστε . Καλύτερα να αποφύγετε την παράγωγο !

Αφού

η γωνία $\hat{C}$ είναι οξεία και μεγιστοποιείται όταν μεγιστοποιείται το $\displaystyle \sin C.$

Αλλά, από νόμο ημιτόνων είναι: $\displaystyle \sin C = \frac{c}{a}\sin A \le \frac{c}{a}.$ Άρα η $\hat{C}$ μεγιστοποιείται όταν $\hat A=90^\circ$

Να επισημάνω ότι όταν έλυσα την άσκηση, οι δοθείσες τιμές, απουσίαζαν από το σχήμα.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 25, 2019 8:23 am

Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , τα μήκη των πλευρών και είναι σταθερά , ενώ εκείνο της μεταβάλλεται . Βρείτε τη θέση της κορυφής , για την οποία η γωνία $\hat{C}$ μεγιστοποιείται . Αφού λύσετε το θέμα για τις δοθείσες τιμές , γενικεύστε . Καλύτερα να αποφύγετε την παράγωγο !

Καλησπέρα σε όλους. Κάνω πρώτα μια πιο γενικευμένη γενίκευση, εξετάζοντας και τις περιπτώσεις όπου a < c

και

, γράφοντας κατόπιν λίγο πιο αναλυτικά τη σκέψη του Γιώργου για την περίπτωση a > c

, που υποδεικνύει η εκφώνηση.

Κατόπιν, παραβαίνοντας την υπόδειξη του Θανάση μελετώ τη γενική περίπτωση, ΔΙΧΩΣ τον ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟ BC>AB

, χρησιμοποιώντας τη δύναμη της Ανάλυσης.

1η λύση:

Αν a < c

τότε $\displaystyle \widehat A < \widehat C$ και δεν έχουμε μέγιστη τιμή, ενώ έχουμε άνω φράγμα τις $\displaystyle 180^\circ$ , όταν b = c-a

.

Αν

τότε $\displaystyle \widehat A = \widehat C$ και επίσης δεν έχουμε μέγιστη τιμή, ενώ έχουμε άνω φράγμα τις $\displaystyle 90^\circ$ , όταν b =0

.

Αν

τότε $\displaystyle \widehat A > \widehat C$ οπότε $\displaystyle 0 < \widehat C < 90^\circ \Rightarrow 0 < \eta \mu C < 1$ .

Είναι $\displaystyle \frac{c}{{\eta \mu C}} = \frac{a}{{\eta \mu {\rm A}}} \Leftrightarrow \eta \mu C = \frac{c}{a}\eta \mu A$ , για σταθερά θετικά a, c

.

Άρα έχουμε μέγιστη τιμή της γωνίας $\displaystyle \widehat C$ , όταν το ημίτονο της γίνει μέγιστο, που συμβαίνει όταν $\displaystyle \eta \mu {\rm A} = 1 \Rightarrow \eta \mu C = \frac{c}{a}$ . Τότε η κορυφή

κινείται στον κύκλο διαμέτρου

.

2η λύση:

Έστω τρίγωνο ABC

με σταθερές πλευρές a, c

και μεταβλητή

, για την οποία ισχύει ο περιορισμός $\displaystyle 0 \le \left| {a - c} \right| < b < a + c$ .

Από Ν. Συνημιτόνων είναι $\displaystyle \sigma \upsilon \nu C = \frac{{{b^2} + {a^2} - {c^2}}}{{2ab}}$ . Αφού $\displaystyle 0 < \widehat C < \pi$ , η συνάρτηση $\displaystyle \sigma \upsilon \nu C$ είναι γνησίως φθίνουσα με πεδίο τιμών $\displaystyle \left( { - 1,\;1} \right)$ .

Άρα η γωνία $\displaystyle \widehat C$ παίρνει τη μέγιστη τιμή της όταν το $\displaystyle \sigma \upsilon \nu C$ πάρει την ελάχιστη τιμή του.

Ζητάμε το ελάχιστο της συνάρτησης $\displaystyle f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + {a^2} - {c^2}}}{{2ax}},\;\;x \in \left( {\left| {a - c} \right|,\;a + c} \right)$

Είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο $\displaystyle f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - {a^2} + {c^2}}}{{2a{x^2}}}$ .

Με πίνακα μεταβολών μονοτονίας βρίσκουμε ότι έχει ελάχιστο όταν $\displaystyle {x^2} = {a^2} - {c^2}$ , δηλαδή όταν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την

. H κορυφή

κινείται στον κύκλο διαμέτρου

.

#4

Και μια αμιγώς γεωμετρική-εποπτική προσέγγιση:

: 25-06-2019 Γεωμετρία.png (50.17 KiB) Προβλήθηκε 856 φορές

Κατασκευάζουμε τον κύκλο C_1

διαμέτρου

και τον κύκλο C_2:(B, c)

, που τέμνονται στο

.

Φέρουμε την

, που είναι εφαπτομένη του C_2

, αφού είναι κάθετη στην

.

Έστω

τυχαίο σημείο του C_2

. Κάθε ευθεία που διέρχεται από τα A, M

τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία άρα απέχει λιγότερο από το

, σε σχέση με το

, οπότε η μέγιστη γωνία

εμφανίζεται όταν το

ταυτιστεί με το

.

#5

: Μέγιστη γωνία 23.png (17.58 KiB) Προβλήθηκε 852 φορές

Το

διατρέχει το κύκλο (B,c)

και προφανώς η γωνία $\widehat C$ γίνεται μέγιστη αν το

γίνει εφαπτόμενο τμήμα

KARKAR · #6

Το θέμα έχει καλυφθεί πλήρως . Απλά γράφω , γιατί στην εκφώνηση ζητούσα μη χρήση παραγώγου

η οποία δεν ενδείκνυται για τον φάκελο των juniors .

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 25, 2019 9:22 pm
2η λύση:
Ζητάμε το ελάχιστο της συνάρτησης $\displaystyle f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + {a^2} - {c^2}}}{{2ax}},\;\;x \in \left( {\left| {a - c} \right|,\;a + c} \right)$

Με τις δεδομένες τιμές ( a=10,c=6

) , αναζητούμε το ελάχιστο της : $\dfrac{x^2+64}{20x}$ .

Είναι : $\dfrac{x^2+64}{20x}= \dfrac{x}{20}+\dfrac{16}{5x}\geq 2\sqrt{ \dfrac{x}{20}\cdot \dfrac{16}{5x}$ $=\dfrac{4}{5}$ κ.λ.π.

Με τον ίδιο τρόπο αντιμετωπίζεται και η γενική περίπτωση ...

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 26, 2019 7:55 am
Με τον ίδιο τρόπο αντιμετωπίζεται και η γενική περίπτωση ...

Καλημέρα σε όλους. Για την πληρότητα του θέματος, δίνω μια αλγεβρική αντιμετώπιση του προσδιορισμού του ελαχίστου της f(x)

χρησιμοποιώντας την παλιά μέθοδο του σταθερού γινομένου.

2η λύση για το ελάχιστο της συνάρτησης f(x)

.

Είναι $\displaystyle \frac{{{x^2} + {a^2} - {c^2}}}{{2ax}} = \frac{x}{{2a}} + \frac{{{a^2} - {c^2}}}{{2ax}}$ . Οι δύο όροι είναι θετικοί κι έχουν σταθερό γινόμενο, οπότε το άθροισμά τους έχει ελάχιστο όταν είναι ίσοι, αν μπορεί να γίνουν ίσοι.

Είναι $\displaystyle \frac{x}{{2a}} = \frac{{{a^2} - {c^2}}}{{2ax}} \Leftrightarrow 2a{x^2} = 2{a^3} - 2a{c^2} \Leftrightarrow {x^2} = {a^2} - {c^2}$ κ.ο.κ.

Μέγιστη γωνία 23

Μέγιστη γωνία 23

Re: Μέγιστη γωνία 23

Re: Μέγιστη γωνία 23

Re: Μέγιστη γωνία 23

Re: Μέγιστη γωνία 23

Re: Μέγιστη γωνία 23

Re: Μέγιστη γωνία 23

Μέλη σε σύνδεση