J619 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σας προτείνω το θέμα J619 από το 2ο τεύχος των Mathematical Reflections του 2023.
Η ημερομηνία υποβολής των λύσεων παρήλθε, έτσι μπορώ να το προτείνω.
Το θέμα πρότεινε ο Andrian Andreescu, Dallas , HΠΑ.

Σε τρίγωνο ABC

ισχύει

$AB^{4}+BC^{4}+CA^{4}=2AB^{2}\cdot BC^{2}+AB^{2}\cdot CA^{2}+2BC^{2}\cdot CA^{2}$

Bρείτε τις δυνατές τιμές της $\widehat{A}.$

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 16, 2023 7:14 am
Σας προτείνω το θέμα J619 από το 2ο τεύχος των Mathematical Reflections του 2023.
Η ημερομηνία υποβολής των λύσεων παρήλθε, έτσι μπορώ να το προτείνω.
Το θέμα πρότεινε ο Andrian Andreescu, Dallas , HΠΑ.

Σε τρίγωνο ισχύει

$AB^{4}+BC^{4}+CA^{4}=2AB^{2}\cdot BC^{2}+AB^{2}\cdot CA^{2}+2BC^{2}\cdot CA^{2}$

Bρείτε τις δυνατές τιμές της $\widehat{A}.$

$\displaystyle {({b^2} + {c^2} - {a^2})^2} = {a^4} + {b^4} + {c^4} + 2{b^2}{c^2} - 2{a^2}{b^2} - 2{a^2}{c^2},$ οπότε από τη δοσμένη σχέση είναι:

$\displaystyle {({b^2} + {c^2} - {a^2})^2} = 3{b^2}{c^2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{bc}}} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow {\cos ^2}A = \frac{3}{4} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \cos A = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2},$ άρα $\boxed{ \widehat A = 30^\circ}$ ή $\boxed{ \widehat A = 150^\circ}$

J619 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

J619 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: J619 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Μέλη σε σύνδεση