Διπλό διπλάσιο

[KARKAR]

Διπλό διπλάσιο.png (15.72 KiB) Προβλήθηκε 283 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο , είναι : . Από σημείο του περικύκλου του τριγώνου ,

το οποίο βρίσκεται στο ημικύκλιο που δεν περιέχει το , φέρουμε τμήμα : και τμήμα

, το οποίο προεκτεινόμενο τέμνει τον κύκλο στο σημείο .

α) Δείξτε ότι : . β) Βρείτε την θέση του , για την οποία είναι :

[Mihalis_Lambrou]

Διπλό διπλάσιο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , είναι : . Από σημείο του περικύκλου του τριγώνου ,

το οποίο βρίσκεται στο ημικύκλιο που δεν περιέχει το , φέρουμε τμήμα : και τμήμα

, το οποίο προεκτεινόμενο τέμνει τον κύκλο στο σημείο .

α) Δείξτε ότι : . β) Βρείτε την θέση του , για την οποία είναι :

διπλ διπλ.png (28.93 KiB) Προβλήθηκε 274 φορές

.
α) Επειδή το είναι εγγράψιμο (καθώς τα βλέπουν την υπό ορθή γωνία) έχουμε . Επίσης (ίσα τόξα). Άρα , από όπου η ζητούμενη παραλληλία.

β) Από την παραλληλία έχουμε , που σημαίνει οτι το είναι το μέσον της . Για να βρούμε το , φέρνουμε την συμμετρική της προς την . Η τομή της με τον κύκλο δίνει το ζητούμενο (άμεσο).

[Mihalis_Lambrou]

.

Διπλ διπλ 2.png (23.62 KiB) Προβλήθηκε 257 φορές

'

Στην προηγούμενη άσκηση/λύση δεν χρησιμοποιήθηκε ούτε η υπόθεση ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, ούτε η σχέση των πλευρών. Για κάποιο λόγο που θα φανεί παρακάτω, την επαναδιατυπώνω χωρίς τις υποθέσεις αυτές:

Σε τρίγωνο , από σημείο του περικύκλου φέρουμε και τμήμα , το οποίο προεκτεινόμενο τέμνει τον κύκλο στο σημείο . Τότε .

Με άλλα λόγια, επειδή η είναι η γνώριμή μας ευθεία Simson, το προηγούμενο λέει ότι η ευθεία Simson του είναι παράλληλη της .

Η απόδειξη που έβαλα για την ειδική περίπτωση, μεταφέρεται ατόφια στην γενική.

Επίσης, το δεύτερο μέρος της αρχικής άσκησης, μεταφέρεται χωρίς αλλαγή στον συλλογισμό.

[KARKAR]

Τελικά μονό διπλάσιο.png (22.15 KiB) Προβλήθηκε 232 φορές

Πράγματι , μπορούμε να πούμε τα ίδια για κάθε εγγεγραμμένο τρίγωνο . Ένας άλλος τρόπος απευθείας

εύρεσης του σημείου , είναι να φέρουμε την κάθετη από το προς την πλευρά . Δείξτε το !

Προφανώς αυτή είναι μια πιο ενδιαφέρουσα εκδοχή της εκφώνησης της άσκησης . Την γράφω ολόκληρη :

" Από την κορυφή του τριγώνου , φέρω κάθετη προς την , η οποία τέμνει τον περίκυκλο στο

και από το κάθετη προς την , η οποία τέμνει τον περίκυκλο στο . Δείξτε ότι : ".

[Mihalis_Lambrou]

Πράγματι , μπορούμε να πούμε τα ίδια για κάθε εγγεγραμμένο τρίγωνο . Ένας άλλος τρόπος απευθείας

εύρεσης του σημείου , είναι να φέρουμε την κάθετη από το προς την πλευρά . Δείξτε το !

.

Διπλ διπλ 3.png (30.23 KiB) Προβλήθηκε 193 φορές

.
Eίναι (από το εγγράψιμο ) και (βαίνουν στο ίδιο τόξο). Άρα , οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, οπότε . Έχουμε τότε από την παραλληλία ότι

, όπως θέλαμε.

[KARKAR]

Θα μπορούσαμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε την πρόταση : " Το συμμετρικό του ορθοκέντρου ως προς

την βάση είναι σημείο του περικύκλου " . Το σημείο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου .

[Mihalis_Lambrou]

Θα μπορούσαμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε την πρόταση : " Το συμμετρικό του ορθοκέντρου ως προς

την βάση είναι σημείο του περικύκλου " . Το σημείο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου .

Σωστότατα και κομψά.

Προτίμησα όμως την απευθείας απόδειξη, δεδομένου ότι είναι απλή, διότι η άσκηση απευθύνεται στους Juniors που μπορεί να μην ξέρουν για το ορθόκεντρο.

[Mihalis_Lambrou]

.

Simson 2.png (66.77 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές

.
Αξιοποίηση των παραπάνω μας δίνουν ένα διαφορετικό από τον συνηθισμένο τρόπο απόδειξης του Θεωρήματος περί της ευθείας Simson.

Το σχεδιάζω ως δύο σχήματα για να μην πέφτουν οι γραμμές η μία πάνω στην άλλη.

Από σημείο του περίκυκλου ενός τριγώνου φέρνουμε κάθετες στις πλευρές ενός τριγώνου. Εδώ η σχεδιάστηκε και στα δύο σχήματα, η μόνο στο αριστερό και η μόνο στο δεξιό. Θέλουμε να δείξουμε ότι (αν όλα ήταν σχεδιασμένα σε κοινό σχήμα) τα είναι συνευθειακά. Προς τον σκοπό αυτό αρκεί να δείξουμε ότι οι είναι και οι δύο παράλληλες της . Δεδομένου ότι έχουν κοινό σημείο το , σημαίνει ότι συμπίπτουν, κατά το ε' αίτημα των παραλλήλων. Πράγματι

α) Στο αριστερό σχήμα έχουμε για γωνίες (από το εγγράψιμο ) και (βαίνουν στο ίδιο τόξο). Άρα από όπου η παραλληλία .

β) Στο δεξιό σχήμα έχουμε για γωνίες (από το εγγράψιμο ) και (βαίνουν στο ίδιο τόξο). Άρα από όπου η παραλληλία .

Τελειώσαμε.