Σύγκριση αποστάσεων

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8104
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Σύγκριση αποστάσεων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Οκτ 31, 2016 9:32 am

Σύγκριση αποστάσεων.png
Σύγκριση αποστάσεων.png (10.71 KiB) Προβλήθηκε 1317 φορές
Σε τρίγωνο \vartriangle ABC είναι a > b > c . Σημείο S κινείται στη πλευρά BC ανάμεσα στα B,C.

Αν οι αποστάσεις του S από τις AB\,\,,AC είναι αντίστοιχα, SK = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ST = t

και το ύψος του \vartriangle ABC είναι AD = d, δείξετε ότι :

k + t > d



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
big-pitsirikos
Δημοσιεύσεις: 59
Εγγραφή: Τετ Οκτ 19, 2016 11:25 am

Re: Σύγκριση αποστάσεων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από big-pitsirikos » Δευ Οκτ 31, 2016 10:25 am

Doloros έγραψε:
Σύγκριση αποστάσεων.png
Σε τρίγωνο \vartriangle ABC είναι a > b > c . Σημείο S κινείται στη πλευρά BC ανάμεσα στα B,C.

Αν οι αποστάσεις του S από τις AB\,\,,AC είναι αντίστοιχα, SK = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ST = t

και το ύψος του \vartriangle ABC είναι AD = d, δείξετε ότι :

k + t > d
Καλημέρα στην όμορφη Κρήτη!

Στο τρίγωνο BKS, ισχύει \sin \hat{B}=\dfrac{k}{BS} (1), και στο STC ισχύει \sin \hat{C}=\dfrac{t}{SC} (2).

Με νόμο ημιτόνων στο ABC ισχύει \dfrac{b}{\sin \hat{B}}=\dfrac{c}{\sin \hat{C}}, από όπου \sin \hat{B}=\dfrac{b \sin \hat{C}}{c}. Αντικαθιστώντας αυτή στην (1), και λύνοντας ως προς k παίρνουμε k=\dfrac{b \sin \hat{C} \cdot BS}{c} > BS \sin \hat{C} \Leftrightarrow \boxed{k>BS \cdot \sin \hat{C}}, επειδή b>c

Ακόμη \boxed{t=\sin \hat{C} \cdot SC}.

Ισχύει ότι E=\dfrac{da}{2}=\dfrac{ab \cdot \sin \hat{C}}{2} \Leftrightarrow d=b \cdot \sin \hat{C}< a \sin \hat{C} \Leftrightarrow \boxed{d<a \cdot \sin \hat{C}} (3).

Έτσι, k+t> \sin \hat{C} \cdot (BS+SC)=\sin \hat{C} \cdot BC>d, από την (3).

Δηλαδή \boxed{\boxed{k+t>d}}, ο.ε.δ.

Υ.Γ. Την ''κοπάνησα''... την άσκηση :D


Αλίμονο σ'αυτούς που δεν ξέρουν ότι δεν ξέρουν αυτά που δεν ξέρουν !
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4105
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Σύγκριση αποστάσεων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Οκτ 31, 2016 2:18 pm

Doloros έγραψε:Σύγκριση αποστάσεων.png Σε τρίγωνο \vartriangle ABC είναι a > b > c . Σημείο S κινείται στη πλευρά BC ανάμεσα στα B,C.Αν οι αποστάσεις του S από τις AB\,\,,AC είναι αντίστοιχα, SK = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ST = t και το ύψος του \vartriangle ABC είναι AD = d, δείξετε ότι :k + t > d
Στο σχήμα του Νίκου

\left\{ \begin{gathered} 
  a > c \Rightarrow ak > ck = 2\left( {ASB} \right) \hfill \\ 
  a > b \Rightarrow at > bt = 2\left( {ASC} \right) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{\left(  +  \right)} a\left( {k + t} \right) > 2\left[ {\left( {ASB} \right) + \left( {ASC} \right)} \right] = 2\left( {ABC} \right) = ad \Rightarrow \boxed{k + t > d} και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης