Το πιο μικρό

KARKAR · #1

: Το πιο μικρό.png (18.72 KiB) Προβλήθηκε 927 φορές

Σημείο

κινείται στη βάση

τριγώνου $\displaystyle ABC$ . Ονομάζουμε (O)

τον κύκλο

και

τον κύκλο (A,C,S)

. Δείξτε ότι

η γωνία $\widehat{OAK}$ είναι σταθερή και υπολογίστε το ελάχιστο του (AOK)

.

#2

Απλή κι ωραία.

#3

KARKAR έγραψε: Κυρ Οκτ 01, 2017 8:18 pm Το πιο μικρό.pngΣημείο κινείται στη βάση τριγώνου $\displaystyle ABC$ . Ονομάζουμε

τον κύκλο και τον κύκλο . Δείξτε ότι

η γωνία $\widehat{OAK}$ είναι σταθερή και υπολογίστε το ελάχιστο του .

Για το πρώτο ερώτημα.

: Το πιο μικρό.png (22.5 KiB) Προβλήθηκε 887 φορές

$\displaystyle A\widehat OB = 2A\widehat SB = 2({180^0} - A\widehat SC) = A\widehat KC$ , οπότε τα ισοσκελή τρίγωνα AOB, AKC

είναι ισογώνια

και κατά συνέπεια, $\boxed{O\widehat AK=B\widehat AC}$

● Στο δεύτερο ερώτημα τα O, K

είναι μέσα των AB, AC

και το ζητούμενο εμβαδόν $\dfrac{(ABC)}{4}$ . Η λύση αύριο.

#4

Επειδή η εγγεγραμμένη είναι το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης θα είναι :

$\left\{ \begin{gathered} \widehat O = \widehat B \hfill \\ \widehat K = \widehat C \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \vartriangle AOK \approx \vartriangle ABC \Rightarrow \widehat {OAK} = \widehat {BAC}$ ,

: Το πιο μικρό.png (25.4 KiB) Προβλήθηκε 881 φορές

Αν

οι προβολές των O,K

στην

, $MN \leqslant OK$ με το ίσον να ισχύει όταν OK//BC

.

Αφού δε για το ύψος

του $\vartriangle ABC$ από το

στην

ισχύει $h \leqslant AS$ το (AOK)

γίνεται ελάχιστο όταν

OK//BC

και τότε

. Επίσης τα O,K

είναι μέσα των AB,AC

και άρα $\boxed{(OAK) = \frac{1}{4}(ABC)}$ .

Το πιο μικρό

Το πιο μικρό

Re: Το πιο μικρό

Re: Το πιο μικρό

Re: Το πιο μικρό

Μέλη σε σύνδεση