Δύο διχοτόμοι κι ένα ισοσκελές

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9329
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Δύο διχοτόμοι κι ένα ισοσκελές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Νοέμ 26, 2017 7:45 pm

Δύο διχοτόμοι κι ένα  ισοσκελές.png
Δύο διχοτόμοι κι ένα ισοσκελές.png (14.76 KiB) Προβλήθηκε 623 φορές
Έστω AD, BE οι διχοτόμοι τριγώνου ABC. Η μεσοκάθετος της BE τέμνει την AD στο M. Η παράλληλη από το D

στην ME τέμνει την BE στο N. Να δείξετε ότι το τρίγωνο NAD είναι ισοσκελές.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3273
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Δύο διχοτόμοι κι ένα ισοσκελές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Κυρ Νοέμ 26, 2017 11:10 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Νοέμ 26, 2017 7:45 pm

Έστω AD, BE οι διχοτόμοι τριγώνου ABC. Η μεσοκάθετος της BE τέμνει την AD στο M. Η παράλληλη από το D

στην ME τέμνει την BE στο N. Να δείξετε ότι το τρίγωνο NAD είναι ισοσκελές.
Καλησπέρα Γιώργο!
Δύο-διχοτόμοι-κι-ένα-ισοσκελές.png
Δύο-διχοτόμοι-κι-ένα-ισοσκελές.png (43.35 KiB) Προβλήθηκε 588 φορές
Αν MS,MT οι προβολές του M στις AB,AC αντίστοιχα, τότε από  \triangle MBS =  \triangle MET \Rightarrow M\widehat BS = M\widehat ET

Έτσι το AEMB είναι εγγράψιμο, άρα A\widehat BE = A\widehat ME = A\widehat DN, συνεπώς και το ANDB είναι εγγράψιμο.

Τέλος, από A\widehat DN = \widehat {\dfrac{B}{2}} = D\widehat AN \Rightarrow NA = ND


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1824
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Δύο διχοτόμοι κι ένα ισοσκελές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Νοέμ 27, 2017 2:12 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Νοέμ 26, 2017 7:45 pm
Δύο διχοτόμοι κι ένα ισοσκελές.png
Έστω AD, BE οι διχοτόμοι τριγώνου ABC. Η μεσοκάθετος της BE τέμνει την AD στο M. Η παράλληλη από το D

στην ME τέμνει την BE στο N. Να δείξετε ότι το τρίγωνο NAD είναι ισοσκελές.
Με \displaystyle DZ \bot AE \Rightarrow Z μέσον της \displaystyle DL \Rightarrow ZF//AB \Rightarrow \angle ZFD = \angle \frac{B}{2} κι επειδή \displaystyle DZFM εγγράψιμο θα είναι \displaystyle \angle DMZ = \angle NEZ = \angle \frac{B}{2}

Έτσι, \displaystyle ANEB εγγράψιμο\displaystyle  \Rightarrow \angle EAN = \angle NBE = \angle \frac{B}{2}.Άρα \displaystyle \boxed{NA = NE}
δυο διχοτόμοι κι ένα ισοσκελές.png
δυο διχοτόμοι κι ένα ισοσκελές.png (28.13 KiB) Προβλήθηκε 550 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης