Ευρεσιγωνία

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9577
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ευρεσιγωνία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 12, 2018 2:39 pm

Ευρεσιγωνία.png
Ευρεσιγωνία.png (12.37 KiB) Προβλήθηκε 263 φορές
Στο τετράπλευρο ABCD του σχήματος , η διαγώνιος AC χωρίζει τη γωνία

\hat{A} σε 40^0 και 70^0 , ενώ η BD διχοτομεί την \hat{B} . Βρείτε το μέτρο της γωνίας \theta .



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1327
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ευρεσιγωνία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Ιαν 12, 2018 4:28 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 12, 2018 2:39 pm
Ευρεσιγωνία.pngΣτο τετράπλευρο ABCD του σχήματος , η διαγώνιος AC χωρίζει τη γωνία

\hat{A} σε 40^0 και 70^0 , ενώ η BD διχοτομεί την \hat{B} . Βρείτε το μέτρο της γωνίας \theta .

Με \displaystyle AI \bot AD \Rightarrow \angle BAI = \angle CAI = {20^0}.

Άρα \displaystyle I έκκεντρο του \displaystyle \vartriangle ABC \Rightarrow \angle BIC = {90^0} + \angle \frac{{BAC}}{2} = {110^0}

Έτσι , \displaystyle \vartriangle BIC \simeq \vartriangle ABD \Rightarrow \angle ADB = \angle BCI = \angle ICA \Rightarrow AICD εγγράψιμο\displaystyle  \Rightarrow \boxed{\theta  = {{20}^0}}
ευρεσιγωνία.png
ευρεσιγωνία.png (24.78 KiB) Προβλήθηκε 243 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5612
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ευρεσιγωνία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιαν 12, 2018 4:41 pm

Γράφω τον κύκλο που περνά από τα σημεία A,B,C και τέμνει ακόμα την BD στο σημείο E.

Είναι \widehat {BAC} = \widehat {BEC} = 40^\circ και \widehat {CBE} = \widehat {CAE} = \widehat z , Επίσης \widehat {AEB} = \widehat \omega .

Ισχύει από υπόθεση ότι \boxed{\widehat x + \widehat z = 70^\circ \,\,(1)} . Επειδή EA = EC από το \vartriangle EAC έχω:
Ευρεσιγωνία_1.png
Ευρεσιγωνία_1.png (34.94 KiB) Προβλήθηκε 237 φορές
2\widehat z + 40^\circ  + \widehat \omega  = 180^\circ  \Rightarrow \widehat z + \dfrac{1}{2}\widehat \omega  = 70^\circ οπότε λόγω της (1)\, έχω : \widehat \omega  = 2\widehat x\,\,(2) .

Αλλά από το \vartriangle AED με \widehat \omega  = \widehat {AEB} εξωτερική θα είναι \widehat \omega  = \widehat x + \widehat y και λόγω της (2) είναι \widehat x = \widehat y \Leftrightarrow \boxed{EA = ED = EC}\,\,\,(3)

Προφανές ότι ο κύκλος (E,EA) διέρχεται από τα D,C άρα : \displaystyle \boxed{\widehat \theta  = \frac{1}{2}\widehat {BEC} = 20^\circ }


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης