Ρόμβος

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11209
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ρόμβος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μαρ 16, 2018 2:26 pm

Ρόμβος.png
Ρόμβος.png (14.26 KiB) Προβλήθηκε 477 φορές
Τα σημεία M,L,N , είναι τα μέσα των πλευρών ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC .

Έστω S τυχόν σημείο του NL . Η μεσοκάθετη του MS , τέμνει τις πλευρές

AB,AC στα σημεία P,Q αντίστοιχα . Δείξτε ότι το SPMQ είναι ρόμβος .


Είναι δική σου Θανάση η ωραία αυτή ασκησούλα ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6955
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ρόμβος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Μαρ 16, 2018 6:02 pm

Ισοδύναμα :

Για κάθε θέση του S ανάμεσα στα N,L αν ο κύκλος : (S,L,M) κόψει το CL στο Q , το τρίγωνο SQM είναι ισόπλευρο


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8795
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ρόμβος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μαρ 16, 2018 6:14 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Μαρ 16, 2018 2:26 pm
Ρόμβος.pngΤα σημεία M,L,N , είναι τα μέσα των πλευρών ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC .

Έστω S τυχόν σημείο του NL . Η μεσοκάθετη του MS , τέμνει τις πλευρές

AB,AC στα σημεία P,Q αντίστοιχα . Δείξτε ότι το SPMQ είναι ρόμβος .


Είναι δική σου Θανάση η ωραία αυτή ασκησούλα ;
Ρόμβος.png
Ρόμβος.png (15.81 KiB) Προβλήθηκε 465 φορές
Ορίζω τα σημεία P, Q ως εξής: Γράφω τον κύκλο (S, SA) ο οποίος προφανώς διέρχεται από το M και τέμνει τις AB, AC στα

P, Q αντίστοιχα. Θα δείξω ότι το SPMQ είναι ρόμβος, οπότε η PQ θα ικανοποιεί τις υποθέσεις της εκφώνησης, δηλαδή θα είναι

μεσοκάθετη της MS. Πράγματι, επειδή \displaystyle M\widehat AC = {30^0} \Leftrightarrow M\widehat SQ = {60^0}, το SMQ είναι ισόπλευρο, ομοίως και το SMP.

Επομένως το SPMQ είναι ρόμβος.


Είναι δική σου Θανάση η ωραία αυτή ασκησούλα ;


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6955
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ρόμβος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Μαρ 16, 2018 10:33 pm

Αγνοώ προσωρινά τη μεσοκάθετο .

Με το S τυχαίο εσωτερικό σημείο του NL γράφω τον κύκλο (S,L,M) που τέμνει το CL στο σημείο Q.

Επειδή το τετράπλευρο BMLN είναι ρόμβος  \to (60^\circ ,120^\circ ,60^\circ ,120^\circ ) και το τρίγωνο

LMC ισόπλευρο , θα είναι : \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = 60^\circ \,\, \Rightarrow \widehat {{a_1}} + \widehat {{a_2}} = 120^\circ  \Rightarrow \widehat {{a_3}} = 60° .

Ρόμβος_1.png
Ρόμβος_1.png (32.53 KiB) Προβλήθηκε 435 φορές
Μα τότε το τρίγωνο SQM είναι ισόπλευρο , Αν O το κέντρο του κύκλου η QO θα είναι μεσοκάθετός στο MS.

Ομοίως εργαζόμενοι θα γράψουμε το κύκλο (M,S,N) που θα τέμνει τηνNB σε σημείο P.

Πάλι το \vartriangle PSM είναι ισόπλευρο τρίγωνο ,η ευθεία που συνδέει το P με το κέντρο

του κύκλου αυτού θα είναι μεσοκάθετος στο SM άρα θα συμπίπτει με την OQ.

Δηλαδή η PQ είναι μεσοκάθετος στο SM και το τετράπλευρο PMQS ρόμβος.

edit: Διόρθωσα λάθος πληκτρολόγηση .( Ευχαριστώ Θανάση που με διαβάζεις τόσο προσεκτικά και με διορθώνεις)


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1855
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ρόμβος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Μαρ 17, 2018 2:07 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Μαρ 16, 2018 2:26 pm
Ρόμβος.pngΤα σημεία M,L,N , είναι τα μέσα των πλευρών ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC .

Έστω S τυχόν σημείο του NL . Η μεσοκάθετη του MS , τέμνει τις πλευρές

AB,AC στα σημεία P,Q αντίστοιχα . Δείξτε ότι το SPMQ είναι ρόμβος .


Είναι δική σου Θανάση η ωραία αυτή ασκησούλα ;
Εφόσον η PQ είναι μεσοκάθετος του SM είναι SQ=QM=x,SP=PM=y
θέτω NS=w
Στα τρίγωνα SLQ,QMC με γωνίες \hat{SLQ}=120^{0},\hat{QCM}=60^{0}, \dfrac{a^{2}}{4}+QC^{2}-\dafrac{a}/{2} .QC=(\dfrac{a}{2}-w)^{2}+LQ^{2}+(\dfrac{a}{2}-w)LQ=x^{2}\Leftrightarrow LQ=w

Αρα τα τρίγωανα SLQ,NSP είναι ίσα και συνεπώς x=y,SQ=SP=PM=MQ


Γιάννης
Συνημμένα
Ρόμβος.png
Ρόμβος.png (98.29 KiB) Προβλήθηκε 396 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης