Άλλη μία γωνία

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9699
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Άλλη μία γωνία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μάιος 05, 2018 8:16 pm

Άλλη μία γωνία.png
Άλλη μία γωνία.png (10.38 KiB) Προβλήθηκε 476 φορές
Έστω AD το ύψος τριγώνου ABC με \widehat A=130^0 και E, Z σημεία των πλευρών AB, AC αντίστοιχα, ώστε

DE=DZ και το BEZC να είναι εγγράψιμο. Να βρείτε τη γωνία E\widehat DZ=\theta.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7445
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Άλλη μία γωνία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μάιος 05, 2018 10:27 pm

Αλλη μια γωνία.png
Αλλη μια γωνία.png (22.02 KiB) Προβλήθηκε 451 φορές


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1630
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Άλλη μία γωνία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Μάιος 06, 2018 12:39 am

Την έχουμε δει και εδώ.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1630
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Άλλη μία γωνία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Μάιος 06, 2018 1:09 am

Και μια γεωμετρική λύση, αφιερωμένη στον Γιώργο και στον Νίκο!

Έστω ότι ο κύκλος (A,E,Z) τέμνει την AD στο P.

Τότε, το AEPZ είναι εγγράψιμο, και αφού και το BEZC είναι εγγράψιμο, είναι \widehat{DBE}=\widehat{AZE}=\widehat{DPE} \Rightarrow BEDP εγγράψιμο.

Αφού όμως \widehat{BDP}=90^\circ, είναι AB \perp EP, και όμοια PZ \perp AC.

Επομένως, το κέντρο του κύκλου (A,E,P,Z) είναι πάνω στην AP.

Επίσης, το κέντρο πρέπει να ανήκει και στην μεσοκάθετο της EZ, επομένως είναι μοναδικό σημείο.

Το D όμως, πληροί και τις δύο παραπάνω προυποθέσεις, άρα είναι το κέντρο του κύκλου (A,E,P,Z).

Συνεπώς, DE=DA=DZ=DP \Rightarrow \widehat{EPZ}=180^\circ-\widehat{A}=50^\circ, και τελικά \theta=2\widehat{EPZ}=100^\circ \Rightarrow \boxed{\theta=100^\circ} (από σχέση επίκεντρης-εγγεγραμένης).
gonia.png
gonia.png (16.2 KiB) Προβλήθηκε 421 φορές


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9699
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άλλη μία γωνία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μάιος 07, 2018 9:39 am

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Κυρ Μάιος 06, 2018 1:09 am
Και μια γεωμετρική λύση, αφιερωμένη στον Γιώργο και στον Νίκο!

Έστω ότι ο κύκλος (A,E,Z) τέμνει την AD στο P.

Τότε, το AEPZ είναι εγγράψιμο, και αφού και το BEZC είναι εγγράψιμο, είναι \widehat{DBE}=\widehat{AZE}=\widehat{DPE} \Rightarrow BEDP εγγράψιμο.

Αφού όμως \widehat{BDP}=90^\circ, είναι AB \perp EP, και όμοια PZ \perp AC.

Επομένως, το κέντρο του κύκλου (A,E,P,Z) είναι πάνω στην AP.

Επίσης, το κέντρο πρέπει να ανήκει και στην μεσοκάθετο της EZ, επομένως είναι μοναδικό σημείο.

Το D όμως, πληροί και τις δύο παραπάνω προυποθέσεις, άρα είναι το κέντρο του κύκλου (A,E,P,Z).

Συνεπώς, DE=DA=DZ=DP \Rightarrow \widehat{EPZ}=180^\circ-\widehat{A}=50^\circ, και τελικά \theta=2\widehat{EPZ}=100^\circ \Rightarrow \boxed{\theta=100^\circ} (από σχέση επίκεντρης-εγγεγραμένης).

gonia.png
Πολύ ωραία λύση Ορέστη! :clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες