Κυκλικό τραπέζιο

KARKAR · #1

: Κυκλικό τραπέζιο.png (9.77 KiB) Προβλήθηκε 502 φορές

Το τραπέζιο του σχήματος δημιουργείται ως εξής : Από σημείο

εκτός του κύκλου (O,r)

φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα PS,PQ

και εν συνεχεία : $QT \parallel PS$ . Θέλουμε όμως

να είναι : $TS=\dfrac{PS}{2}$ . Κατασκευάστε το σχήμα και υπολογίστε το απόστημα της χορδής

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 23, 2018 7:19 pm
Κυκλικό τραπέζιο.pngΤο τραπέζιο του σχήματος δημιουργείται ως εξής : Από σημείο εκτός του κύκλου

φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα και εν συνεχεία : $QT \parallel PS$ . Θέλουμε όμως

να είναι : $TS=\dfrac{PS}{2}$ . Κατασκευάστε το σχήμα και υπολογίστε το απόστημα της χορδής .

: Κυκλικό τραπέζιο.png (19.62 KiB) Προβλήθηκε 469 φορές

$\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos \theta = \frac{{\sqrt {15} }}{4}$ και $\displaystyle \tan \theta = \frac{1}{{\sqrt {15} }} \Leftrightarrow \frac{r}{{2x}} = \frac{1}{{\sqrt {15} }} \Leftrightarrow$ $x = \boxed{\frac{{r\sqrt {15} }}{2}}$ (1)

Γνωρίζοντας το

κατασκευάζω το σχήμα. Αλλά, $\displaystyle \cos \theta = \frac{{OM}}{{SQ}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} \frac{{\sqrt {15} }}{4} = \frac{{2(d + r)}}{{r\sqrt {15} }} \Leftrightarrow$ $\boxed{OM=d=\dfrac{7r}{8}}$

Σημείωση: Μετά τον υπολογισμό του

η κατασκευή είναι πιο απλή. Βρίσκω το σημείο

ώστε $SM=\dfrac{15r}{8}$ και φέρνω από αυτό κάθετη στην

, προσδιορίζοντας έτσι τα σημεία T, Q.

Οι εφαπτόμενες του κύκλου στα S, Q

τέμνονται στο

και ολοκληρώνεται η κατασκευή.

#3

: Κυκλικό τραπέζιο.png (30.96 KiB) Προβλήθηκε 440 φορές

Επειδή η ακτίνα $OK \bot SP\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,TQ//SP \Rightarrow OS \bot TQ$ .

Δηλαδή αν

το μέσο του

η

είναι μεσοκάθετος στο

με αποτέλεσμα ST = SQ

.

Ας είναι

το σημείο τομής των $OP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SQ$ , συνεπώς το

είναι μέσο του

.

Επειδή απαιτούμε $SP = 2ST \Rightarrow SP = 2SQ \Rightarrow SP = 4SM \Rightarrow \boxed{OP = 4OS = 4r}$

Κι αυτό γιατί τα τρίγωνα $SOP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MSO$ είναι όμοια .

Μετά απ’ αυτά για τη κατασκευή γράφω τον κύκλο (O,4r)

που τέμνει , στο

την εφαπτομένη του

κύκλου (O,r)

που φέρνουμε σε σημείο του

. Θέτω τώρα το απόστημα OA = x

.

Έτσι από το προφανές εγγράψιμο τετράπλευρο AOMQ

έχω :

$SO \cdot SA = SM \cdot SQ = 2S{M^2} \Rightarrow \boxed{r(r + x) = 2S{M^2}}\,\,(1)$ . Αλλά από το Θ. του Ευκλείδη στο ορθογώνιο τρίγωνο SOP

έχω : $S{O^2} = OM \cdot OP \Rightarrow {r^2} = 4rOM \Rightarrow r = 4OM$ .

Οπότε : $S{M^2} = MO \cdot MP = \dfrac{r}{4}(4r - \dfrac{r}{4}) = \dfrac{{15{r^2}}}{{16}}$ και η (1)

δίδει : $r + x = \dfrac{{15r}}{8} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{7r}}{8}}$ .

Κυκλικό τραπέζιο

Κυκλικό τραπέζιο

Re: Κυκλικό τραπέζιο

Re: Κυκλικό τραπέζιο

Μέλη σε σύνδεση