Ζήτημα παραλληλίας

KARKAR · #1

: Παραλληλία.png (13.2 KiB) Προβλήθηκε 531 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με AB=8

και

, σχεδιάσαμε η διχοτόμο

.

Σχεδιάστε κύκλο , ο οποίος να διέρχεται από τα C,D

και να τέμνει τις CA,CB

σε σημεία

αντίστοιχα , ώστε : $ST\parallel AB$ . Υπολογίστε τώρα το άθροισμα : CS+CT

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 04, 2018 10:21 am
Παραλληλία.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με και , σχεδιάσαμε η διχοτόμο .

Σχεδιάστε κύκλο , ο οποίος να διέρχεται από τα και να τέμνει τις σε σημεία

αντίστοιχα , ώστε : $ST\parallel AB$ . Υπολογίστε τώρα το άθροισμα : .

Για κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ABC

το άθροισμα αυτό δίδεται από τη σχέση :

$\boxed{S = \frac{{2b({a^2} - {b^2})}}{{{c^2}}}}$ που για $b = 5\,\,\kappa \alpha \iota \,\,c = 8$ είναι

: Ζήτημα παραλληλίας.png (22.48 KiB) Προβλήθηκε 493 φορές

Επειδή το $\vartriangle SCT$ είναι ορθογώνιο το κέντρο του θα ανήκει στην

, προφανώς δε

και στη μεσοκάθετο του

. Επειδή το απόστημα στη χορδή

είναι κάθετο σ

αυτή θα είναι $KD \bot AB$ δηλαδή ο κύκλος εφάπτεται στην

στο

.

Θέτω: $AD = u\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CS = v$ . Θα είναι ST = 2u

και ταυτόχρονα:

$\left\{ \begin{gathered} A{D^2} = AS \cdot AC \hfill \\ AD = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC + AC}} \hfill \\ CS + CT = CS + \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {u^2} = (b - v) \cdot b \hfill \\ u = \frac{{bc}}{{a + b}} \hfill \\ CS + CT = v + \sqrt {{v^2} + 4{u^2}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Απαλοίφω το

από τις δύο πρώτες και βρίσκω $v = \dfrac{{2{b^2}(a - b)}}{{{c^2}}}$ . αντικαθιστώ τα

u,v

στην τρίτη κι έχω : $\boxed{CS + CT = \frac{{2b({a^2} - {b^2})}}{{{c^2}}}}$ , που με $b = 5\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,c = 8$ δίδει

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 04, 2018 10:21 am
Παραλληλία.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με και , σχεδιάσαμε η διχοτόμο .

Σχεδιάστε κύκλο , ο οποίος να διέρχεται από τα και να τέμνει τις σε σημεία

αντίστοιχα , ώστε : $ST\parallel AB$ . Υπολογίστε τώρα το άθροισμα : .

Η κάθετη στην $\displaystyle AB$ στο $\displaystyle D$ τέμνει την $\displaystyle BC$ στο $\displaystyle O$ κι επειδή οι πράσινες γωνίες είναι ίσες θα είναι $\displaystyle CO = OD$

Επομένως ,ο κύκλος $\displaystyle \left( {O,OC} \right)$ περνά από τα $\displaystyle C,D$ και $\displaystyle TS \bot AC,TD \bot CD \Rightarrow ST//AB$

Ακόμη, $\displaystyle \vartriangle TCK$ είναι ισοσκελές με $\displaystyle CT = CK$ ,επειδή δε $\displaystyle D$ μέσον της $\displaystyle KT$ θα έχουμε $\displaystyle AS = AK$

Έστω τώρα $\displaystyle \left( {C,CT} \right) \cap AC = L$ , $\displaystyle I$ το αντιδιαμετρικό του $\displaystyle D$ στο μικρό κύκλο και $\displaystyle BI \cap KL = E$

Από θ.κ.δέσμης $\displaystyle \frac{{AC}}{{CE}} = \frac{{DO}}{{OI}} = 1 \Rightarrow AC = CE \Rightarrow EL = AK = AS$ .Άρα

$\displaystyle CS + CT = SL = SE + EL = SE + SA = 2AC \Rightarrow \boxed{CS + CT = 2b}$

: Z.Π.png (27.8 KiB) Προβλήθηκε 440 φορές

Ζήτημα παραλληλίας

Ζήτημα παραλληλίας

Re: Ζήτημα παραλληλίας

Re: Ζήτημα παραλληλίας

Μέλη σε σύνδεση