Συμμετροκάθετη

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6847
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Συμμετροκάθετη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Αύγ 10, 2018 9:04 am

Συμμετροκάθετη.png
Συμμετροκάθετη.png (10.06 KiB) Προβλήθηκε 244 φορές
AD είναι το ύψος ορθογωνίου τριγώνου ABC, \widehat A=90^0. Έστω F το συμμετρικό του A ως προς B

και E το μέσο του DC. Να δείξετε ότι FD\bot AE



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3788
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Συμμετροκάθετη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Αύγ 10, 2018 2:22 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Αύγ 10, 2018 9:04 am
Συμμετροκάθετη.png
AD είναι το ύψος ορθογωνίου τριγώνου ABC, \widehat A=90^0. Έστω F το συμμετρικό του A ως προς B και E το μέσο του DC. Να δείξετε ότι FD\bot AE
Αν P το συμμετρικό του A ως προς το μέσο E της DC , τότε από το παραλληλόγραμμο ADPD (οι διαγώνιες διχοτομούνται) προκύπτει ότι PD\parallel AC\mathop  \Rightarrow \limits^{AC \bot AF} PD \bot AF:\left( 1 \right) και BE\parallel FP (από τα μέσα B,E των AF,AP ) και με AD \bot BE \Rightarrow AD \bot FP:\left( 2 \right). Από \left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow D το ορθόκεντρο του τριγώνου \vartriangle AFP (σημείο τομής δύο υψών) οπότε FD\bot AP\Rightarrow FD\bot AE και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί

Στάθης

Υ.Σ. Έχω και άλλη λύση αλλά ντρέπομαι να την γράψω. Ας τη γράψει ο Μιχάλης Τσουρακάκης ;)


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1980
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Συμμετροκάθετη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Παρ Αύγ 10, 2018 3:05 pm

Έστω Z, το συμμετρικό σημείο του A ως προς το σημείο D.

Στα όμοια ορθογώνια τρίγωνα \vartriangle DAC,\ \vartriangle ZFA , λόγω \angle DAC = \angle ZFA , οι ευθείες των ομόλογων πλευρών τους είναι κάθετες μεταξύ τους.

Συμπεραίνεται έτσι ότι FD\perp AE ( ομόλογες διάμεσοι στα ίδια τρίγωνα ) και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.


Altrian
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm

Re: Συμμετροκάθετη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Παρ Αύγ 10, 2018 5:54 pm

Και μια διανυσματική λύση:
\overrightarrow{FD}=2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD} 

 \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}/2
Επομένως:
\overrightarrow{FD}*\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BA}*\overrightarrow{CD}+2\overrightarrow{BA}*\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}*\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}*\overrightarrow{CD}/2
Δεδομένου ότι \overrightarrow{BA}*\overrightarrow{AC}=0 και \overrightarrow{AD}*\overrightarrow{CD}=0 ως κάθετες, έχουμε:
\overrightarrow{FD}*\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BA}*\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}*\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}*\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}\right) +\overrightarrow{AD}*\overrightarrow{AC}=
\overrightarrow{BA}*\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BA}*\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}*\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BA}*\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}*\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}*\overrightarrow{AD}=0.
Δηλ. FD κάθετη στην AE


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1848
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συμμετροκάθετη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Αύγ 10, 2018 5:59 pm

Στο σχήμα του Γιώργου.

Είναι \angle FAD=\angle ACE(1)

Τα τρίγωνα ADC και ABD είναι όμοια.

Προκύπτει ότι \frac{DC}{AC}=\frac{AD}{AB}

Αυτή γράφεται και ως \frac{EC}{AC}=\frac{AD}{AF}(2)

Από (1) και (2) προκύπτει ότι τα τρίγωνα ADF και AEC είναι όμοια.

Αρα \angle AFD=\angle EAC οπότε FD\perp AE


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1391
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Συμμετροκάθετη

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Αύγ 10, 2018 6:44 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Αύγ 10, 2018 9:04 am
Συμμετροκάθετη.png
AD είναι το ύψος ορθογωνίου τριγώνου ABC, \widehat A=90^0. Έστω F το συμμετρικό του A ως προς B

και E το μέσο του DC. Να δείξετε ότι FD\bot AE

Αν κατάλαβα καλά Στάθη έχεις στο μυαλό σου λύση που στηρίζεται στο δικό σου θεώρημα που μου αρέσει να εφαρμόζω.
Τι είναι αυτό πάντως που ντρέπεσαι να γράψεις και δεν ντρέπομαι να γράψω εγώ ,δεν το καταλαβαίνω



Έστω \displaystyle M μέσον της \displaystyle AC και \displaystyle EP \bot AF οπότε \displaystyle AD,AP είναι οι ορθές προβολές της \displaystyle AE επί των \displaystyle AD,AF αντίστοιχα

Στόχος μας σύμφωνα με το θ.STATHIS KOUTRAS είναι η ισχύς της \displaystyle \frac{{AP}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{AF}} \Leftrightarrow A{D^2} = 2AB \cdot AP

Αλλά \displaystyle ME = AQ και \displaystyle AD = 2ME οπότε \displaystyle AQ = QD = \frac{{AD}}{2} και από το εγγράψιμο \displaystyle PQDB \Rightarrow AQ \cdot AD = AP \cdot AB \Rightarrow \frac{{A{D^2}}}{2} = AP \cdot AB \Rightarrow \boxed{A{D^2} = 2AB \cdot AP}

Εναλλακτικά: Το \displaystyle Q είναι ορθόκεντρο του \displaystyle \vartriangle ABE άρα \displaystyle BQ \bot AE.Αλλά\displaystyle \left( {AQ = QD} \right) \displaystyle BQ//FD άρα \displaystyle FD \bot AE
συμμετροκάθετη.png
συμμετροκάθετη.png (15.52 KiB) Προβλήθηκε 132 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Τσουρακάκης σε Σάβ Αύγ 11, 2018 12:12 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10230
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συμμετροκάθετη

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Αύγ 10, 2018 7:05 pm

Ας το δούμε και με Αναλυτική, για να υπάρχει. Απαιτούνται μόνο πράξεις ρουτίνας.

Με αρχή των αξόνων το A(0,0) και B(b,0), \, C(0,c). Eίναι F(2b,0) , η BC έχει κλίση -c/b και η AD έχει κλίση b/c. Άρα οι δύο τελευταίες έχουν εξισώσεις \displaystyle{y = -\frac {c}{b }(x-b)} και \displaystyle{y = \frac {b}{ c}x}, αντίστοιχα. Λύνοντας, τέμνονται στο

\displaystyle{D\left (\frac {bc^2}{b^2+c^2 }, \, \frac {b^2c}{b^2+c^2 }  \right ) } και άρα το μέσον E του CD είναι \displaystyle{E\left ( \frac {bc^2}{2(b^2+c^2)}  , \, \frac {2b^2c+c^3}{2(b^2+c^2 )}  \right ) }.

Έπεται ότι οι κλίσεις των FD, \, AE είναι \displaystyle{ -\frac {bc}{2b^2+c^2 }} και \displaystyle{ \frac {2b^2+c^2 }{bc}}, αντίστοιχα, οπότε είναι κάθετες (γινόμενο -1).


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5834
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Συμμετροκάθετη

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Αύγ 10, 2018 7:34 pm

Συμμετροκάθετη.png
Συμμετροκάθετη.png (22.83 KiB) Προβλήθηκε 116 φορές

Αν M το μέσο του ύψους AD θα είναι BM//FD . Αλλά οι BM \bot AE ως ομόλογοι διάμεσοι των ομοίων ορθογωνίων τριγώνων DAB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DCA.

Άρα FD \bot AE


Παρατήρηση . Εναλλακτικά το M είναι ορθόκεντρο του τριγώνου ABE


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10230
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συμμετροκάθετη

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Αύγ 10, 2018 10:12 pm

Ας δούμε για όφελος των μαθητών και μία δεύτερη λύση με Αναλυτική, γιατί έχει τα πλεονεκτήματά της.

Παίρνουμε κέντρο αξόνων το D(0,0) με  B(-b,0), \, A(0,a) , \, E(e,0), \, C(2e,0) και άρα F(-2b,-a). H συνθήκη καθετότητας AC \perp AB είναι (από τις κλίσεις των AB, AC) η \displaystyle{\frac {-a}{2e}\cdot \frac {a}{b}=-1}, δηλαδή a^2=2be \,(*). Άλλος τρόπος για το τελευταίο είναι AD^2=BD\cdot DC, που δίνει πάλι την ίδια σχέση.

Τώρα, οι κλίσεις των AE, FD είναι \displaystyle{-\frac {a}{e}} και \displaystyle{\frac {a}{2b}}, αντίστοιχα. Το γινόμενό τους λόγω της (*) είναι
\displaystyle{-\frac {a^2}{2eb}=-1}, από όπου η ζητούμενη καθετότητα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες