Πολύτιμος λόγος

#1

: Πολύτιμος λόγος.png (11.86 KiB) Προβλήθηκε 463 φορές

Στη βάση

τραπεζίου

θεωρούμε σημείο

ώστε

Αν οι

τέμνουν τη διαγώνιο

στα

αντίστοιχα και DH=FB,

να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{AH}{HC}.$

Δίνεται ένα 24ωρο για τους μαθητές.

#2

Ζητάμε το λόγο : $k = \dfrac{x}{y} = \dfrac{u}{v} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = ky \hfill \\ u = kv \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,(1)\,\,\,x,y,u,v > 0$ .

Στο τρίγωνο AEC

με διατέμνουσα $\overline {HFB}$ έχω :

: Πολύτιμος λόγος.png (15.41 KiB) Προβλήθηκε 425 φορές

$\dfrac{{AB}}{{BE}} \cdot \dfrac{{EF}}{{FC}} \cdot \dfrac{{CH}}{{HA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{DC}}{{CH}} \cdot \dfrac{{FB}}{{FD}} \cdot \dfrac{{CH}}{{HA}} = 1$ ( αφού $AD//EF\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB//DC$ ) δηλαδή

$\dfrac{{2u + v}}{u} \cdot \dfrac{u}{{u + v}} \cdot \dfrac{y}{x} = 1$ που λόγω των σχέσεων (1)

και την απλοποίηση του

γίνεται:

$\dfrac{{2kv + v}}{{kv + v}} \cdot \dfrac{y}{{ky}} = 1 \Rightarrow 2k + 1 = {k^2} + k \Rightarrow {k^2} - k - 1 = 0$ και άρα $\boxed{k = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \varphi }$

STOPJOHN · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 04, 2018 10:27 am
Πολύτιμος λόγος.png
Στη βάση τραπεζίου θεωρούμε σημείο ώστε Αν οι

τέμνουν τη διαγώνιο στα αντίστοιχα και να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{AH}{HC}.$

Δίνεται ένα 24ωρο για τους μαθητές.

To

είναι παραλληλόγραμμο γιατί DC=AE,DC//AE

Θέτουμε

Από τα όμοια τρίγωνα $DHC,AHB,\dfrac{AH}{HC}=\dfrac{b}{a}=\dfrac{HF}{FB}+1,(1),$
Ομοiως από τα όμοια τρίγωνα $DFC,EFB,\dfrac{a}{b-a}=\dfrac{c+FH}{c}\Leftrightarrow \dfrac{HF}{c}=\dfrac{2a-b}{b-a},(2), (1),(2)\Rightarrow b^{2}-ab=a^{2}\Leftrightarrow \dfrac{b}{a}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow \dfrac{AH}{HC}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

Γιάννης

Πολύτιμος λόγος

Πολύτιμος λόγος

Re: Πολύτιμος λόγος

Re: Πολύτιμος λόγος

Μέλη σε σύνδεση