Ίσες πλευρές σε άνισα τρίγωνα

#1

: Ίσες πλευρές σε άνισα τρίγωνα.png (9.46 KiB) Προβλήθηκε 564 φορές

Δίνεται τρίγωνο ABC

με $\widehat A=30^\circ, \widehat B=50^\circ$ και ένα σημείο

της

ώστε

Να δείξετε ότι BM=AC.

STOPJOHN · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 15, 2018 7:23 pm
Ίσες πλευρές σε άνισα τρίγωνα.png
Δίνεται τρίγωνο με $\widehat A=30^\circ, \widehat B=50^\circ$ και ένα σημείο της ώστε Να δείξετε ότι

Καλησπέρα Γιώργο
Κατασκευάζουμε τις $DC\perp AB,CI\perp MB$
Το τετράπλευρο BDIC

είναι εγράψιμο σε κύκλο γιατί $\hat{BIC}=\hat{BDC}=90^{0}$
Συνεπώς $\hat{IBC}=40=\hat{CDI},\hat{DIB}=\hat{DCB}=40,DJ=JI,BJ=JC$
Δηλαδή $\dfrac{AC}{2}=DC=DJ+JC=JI+JB=IB=\dfrac{AM}{2}\Leftrightarrow AC=MB$

Γιάννης

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 15, 2018 7:23 pm
Ίσες πλευρές σε άνισα τρίγωνα.png
Δίνεται τρίγωνο με $\widehat A=30^\circ, \widehat B=50^\circ$ και ένα σημείο της ώστε Να δείξετε ότι

Είναι $\displaystyle \angle C = {100^0} \Rightarrow \angle CBM = \angle BMC = {40^0} \Rightarrow \angle MBA = {10^0}$

Ο κύκλος $\displaystyle \left( {B,BC} \right)$ τέμνει την $\displaystyle BM$ στο $\displaystyle E$ άρα $\displaystyle BC = BE$

Σχηματίζοντας το ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle ABF$ θα είναι $\displaystyle \angle CBF = {10^0}$ κι επειδή $\displaystyle \angle BAC = {30^0} \Rightarrow BC = CF$

Τώρα, $\displaystyle \vartriangle ABE = \vartriangle BCF \Rightarrow$ $\displaystyle AE = CF = BC = BE = CM$ .

Άρα $\displaystyle \angle AEM = {20^0} \Rightarrow \angle EAM = {20^0}$ επομένως $\displaystyle AM = ME \Rightarrow AM + MC = ME + BE \Rightarrow \boxed{BM = AC}$

: ίσες πλευρές σε άνισα τμήματα.png (20.04 KiB) Προβλήθηκε 543 φορές

Altrian · #4

Γιώργο καλησπέρα,

Φέρουμε από το

την κάθετη στην

που την τέμνει στο

και το συμμετρικό

του

ως προς το

. $\triangle ASC$ ισόπλευρο δηλ. SC=AC

.

Οι γωνίες του σχήματος προκύπτουν εύκολα και έχουμε: SMCB

εγγράψιμο (η

φαίνεται από τα S,M

υπό γωνία

). Επίσης $SM\left | \right |BC$ λόγω των γωνιών. Αρα το SMBC

είναι ισοσκελές τραπέζιο δηλ. οι διαγώνιές του είναι ίσες BM=SC=AC

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλημέρα σε όλους ! Λίγο διαφορετικά τη λύση του αγαπητού Γιάννη

: Ισες πλευρές..GV.PNG (7.66 KiB) Προβλήθηκε 496 φορές

Με $CE \perp AB, CH \perp BM$ τα ορθογώνια τρίγωνα BEC,MHC

είναι ίσα αφού έχουν ίσες υποτείνουσες και από μια ..

άρα γωνία

συνεπώς CE=MH

. Έτσι έχουμε AC=2CE=2MH=BM

. Μια ακόμη λύση , με εφαρμογή του Νόμου

μάλλον ..

..κάποιος θα με προλάβει.. Φιλικά Γιώργος.

#6

Σας ευχαριστώ όλους για τις λύσεις. Η δική μου αντιμετώπιση είναι παραλλαγή των λύσεων Γιάννη και Γιώργου και υπάρχει εδώ (george_54)

#7

Καλησπέρα σε όλους. Μία ακόμα τριγωνομετρική λύση, στην οποία δεν χρειάστηκε να φέρουμε βοηθητική. Χρησιμοποιώ το αρχικό σχήμα του Γιώργου.

: Ίσες πλευρές σε άνισα τρίγωνα.png (9.46 KiB) Προβλήθηκε 445 φορές

Στο

είναι $\displaystyle \widehat C = 100^\circ$ , οπότε στο BMC

είναι $\displaystyle \widehat {MBC} = \widehat {{\rm B}MC} = 40^\circ$ .

Από Ν. Ημιτόνων στα ABC, BMC

έχουμε

$\displaystyle \frac{{AC}}{{\eta \mu 50^\circ }} = \frac{{BC}}{{\eta \mu 30^\circ }},\;\;\;\;\frac{{{\rm B}{\rm M}}}{{\eta \mu 100^\circ }} = \frac{{BC}}{{\eta \mu 40^\circ }}$

Διαιρώντας κατά μέλη έχουμε

$\displaystyle \frac{{\frac{{AC}}{{\eta \mu 50^\circ }}}}{{\frac{{{\rm B}{\rm M}}}{{\eta \mu 100^\circ }}}} = \frac{{\frac{{BC}}{{\eta \mu 30^\circ }}}}{{\frac{{BC}}{{\eta \mu 40^\circ }}}} \Leftrightarrow \frac{{2AC\eta \mu 50^\circ \cdot \sigma \upsilon \nu 50^\circ }}{{BM\eta \mu 50^\circ }} = \frac{{\eta \mu 40^\circ }}{{\eta \mu 30^\circ }} \Leftrightarrow \frac{{AC}}{{BM}} = \frac{{\eta \mu 40^\circ }}{{\sigma \upsilon \nu 50^\circ }} = 1 \Leftrightarrow AC = BM$ .

Ίσες πλευρές σε άνισα τρίγωνα

Ίσες πλευρές σε άνισα τρίγωνα

Re: Ίσες πλευρές σε άνισα τρίγωνα

Re: Ίσες πλευρές σε άνισα τρίγωνα

Re: Ίσες πλευρές σε άνισα τρίγωνα

Re: Ίσες πλευρές σε άνισα τρίγωνα

Re: Ίσες πλευρές σε άνισα τρίγωνα

Re: Ίσες πλευρές σε άνισα τρίγωνα

Μέλη σε σύνδεση