Σελίδα 1 από 1

Απλή και όμορφη

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 14, 2018 9:44 pm
από Μιχάλης Νάννος
shape.png
shape.png (16.33 KiB) Προβλήθηκε 644 φορές
Στο παραπάνω σχήμα, να βρείτε τη γωνία x

Re: Απλή και όμορφη

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 14, 2018 11:02 pm
από Doloros
Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Τετ Νοέμ 14, 2018 9:44 pm
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε τη γωνία x

Πράγματι ωραία !
Απλή και όμορφη.png
Απλή και όμορφη.png (22.16 KiB) Προβλήθηκε 603 φορές

20° . Αλλά να το δείξουμε.

Re: Απλή και όμορφη

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 14, 2018 11:55 pm
από rek2
Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Τετ Νοέμ 14, 2018 9:44 pm
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε τη γωνία x
Με DF κάθετη στην AC είναι:

sin(\angle CDF)=sinx=\dfrac{\sqrt{3}-tanx}{4} και τώρα:

2sin2x=-sinx+\sqrt{3}cosx οπότε

2sin2x=2sin(x+\dfrac{2\pi }{3})

με δεκτή λύση x=\dfrac{\pi }{9}

Re: Απλή και όμορφη

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Νοέμ 15, 2018 1:07 am
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Κατασκευάζουμε τα ορθογώνια AEFC και CGDF. Τότε FB=2 και E\hat BF=60^0.
Αν \omega η ζητούμενη γωνία τότε \omega+2\omega=60^0 οπότε \omega=20^0.
Μιχάλης.png
Μιχάλης.png (235.5 KiB) Προβλήθηκε 579 φορές

Re: Απλή και όμορφη

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Νοέμ 15, 2018 6:00 pm
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Τετ Νοέμ 14, 2018 9:44 pm
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε τη γωνία x

Με \displaystyle DZ \bot AC ,\displaystyle ZN//BCκαι \displaystyle M μέσον της \displaystyle CD προφανής είναι η ισότητα των πράσινων γωνιών του σχήματος

κι από την ισότητα των \displaystyle \vartriangle ZAN,DEB \Rightarrow AN = 1 \Rightarrow CN = ZM = 2

Έτσι, \displaystyle \angle CNA = {60^0} και \displaystyle CMNZ ισοσκελές τραπέζιο,άρα \displaystyle \angle CNZ = 2x.

Τότε \displaystyle \angle CNA = 3x = {60^0} \Rightarrow \boxed{x = {{20}^0}}
απλή και όμορφη.png
απλή και όμορφη.png (66.23 KiB) Προβλήθηκε 511 φορές

Re: Απλή και όμορφη

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Νοέμ 15, 2018 8:42 pm
από Γιώργος Ρίζος
Καλησπέρα σε όλους. Μία ακόμα λύση, δίχως καμία βοηθητική.


shape.png
shape.png (16.33 KiB) Προβλήθηκε 488 φορές

Στο BED είναι  \displaystyle BD = \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x}} . Στο ABC είναι  \displaystyle \eta \mu x = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{4 + \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x}}}} (1), με  \displaystyle 0 < x < \frac{\pi }{2} .

Λύνουμε την εξίσωση (1) στο  \displaystyle \left( {0,\;\frac{\pi }{2}} \right) .

 \displaystyle \eta \mu x = \frac{{\sqrt 3 }}{{4 + \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x}}}} \Leftrightarrow \eta \mu x = \frac{{\sqrt 3 \sigma \upsilon \nu x}}{{4\sigma \upsilon \nu x + 1}} \Leftrightarrow 4\eta \mu x\sigma \upsilon \nu x = \sqrt 3 \sigma \upsilon \nu x - \eta \mu x

 \displaystyle  \Leftrightarrow 2\eta \mu x\sigma \upsilon \nu x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sigma \upsilon \nu x - \frac{1}{2}\eta \mu x \Leftrightarrow \eta \mu 2x = \eta \mu \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) , που δίνει μοναδική ρίζα  \displaystyle x = \frac{\pi }{9} .