Η άλλη ακτίνα

KARKAR · #1

: Η άλλη ακτίνα.png (9.29 KiB) Προβλήθηκε 907 φορές

$\bigstar$ Οι μη τεμνόμενοι κύκλοι (O,r)

και

έχουν κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο

τμήμα AB=a

και κοινό εσωτερικά εφαπτόμενο τμήμα ST=b

. I) Δείξτε ότι a>b

.

II) Αν είναι γνωστά τα a,b,r

, υπολογίστε την

.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Καλησπέρα!

Ι)
Προεκτείνουμε την

ώστε να τέμνει την

στο

.Eπειδή τα

και

είναι εφαπτόμενα τμήματα έχουμε: $AM=MS=x=\frac{a+b}{2}$ .Επίσης εφαπτόμενα τμήματα είναι τα

και

άρα

.Από τα παραπάνω έχουμε ότι $a=x+y>y-x=b\Leftrightarrow a>b$ .
II)
Eίναι $\tan \theta =\frac{R}{\alpha-x }\Leftrightarrow R=\tan\theta\alpha$ .Επειδή το a-x

το ξέρουμε (αφου $x=\frac{a+b}{2}$ )πρέπει να δείξουμε ότι ξέρουμε την $\tan \theta$ .Είναι $\tan \omega =\frac{r}{x}$ ,επειδή το

και το

είναι γνωστά ξέρουμε την γωνία $\widehat{AMS}=2\omega$ άρα και την παραπληρωματική της την $2\theta$ άρα και την $tan\theta$ .

#3

Από το

φέρνουμε παράλληλη προς τις

η οποία τέμνει κάθετα την προέκταση της

στο

. Επίσης φέρνουμε από το

παράλληλη της

η οποία τέμνει κάθετα την

στο

.

Από τα ορθογώνια τρίγωνα OCK, ODK

έχουμε $\displaystyle{OC^2+CK^2=OK^2=OD^2+KD^2$ , οπότε

$\displaystyle{b^2+(R+r)^2= a^2+(R-r)^2}$ , από όπου $R=\dfrac {a^2-b^2}{4r}>0$ .

#4

KARKAR έγραψε: Παρ Δεκ 14, 2018 8:13 pm Η άλλη ακτίνα.png $\bigstar$ Οι μη τεμνόμενοι κύκλοι και έχουν κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο

τμήμα και κοινό εσωτερικά εφαπτόμενο τμήμα . I) Δείξτε ότι .

II) Αν είναι γνωστά τα , υπολογίστε την .

α) Ας είναι

το σημείο τομής των ευθειών $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TS$ . Επειδή $b < TE = EB < a \Rightarrow b < a$ .

β) $OE \bot EK$ ( διχοτόμοι εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών ) άρα τα ορθογώνια

τρίγωνα $BEK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AOE$ είναι όμοια ως έχοντα $\widehat {AOE} = \widehat {BEK}$

( οξείες με κάθετες πλευρές) και από την ομοιότητα αυτή:

: Η άλλη ακτίνα.png (26.21 KiB) Προβλήθηκε 844 φορές

$\dfrac{{BE}}{{AO}} = \dfrac{{BK}}{{AE}} \Rightarrow (a - x)x = Rr\,\,(1)$ Αλλά b = TE - x = a - 2x

Η απαλοιφή του

μεταξύ των $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ δίδει : $\boxed{R = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{4r}}}$ . Πράγματι:

$\left\{ \begin{gathered} x(a - x) = Rr \hfill \\ b = a - 2x \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{a - b}}{2}(a - \frac{{a - b}}{2}) = Rr \hfill \\ x = \frac{{a - b}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{a - b}}{2} \cdot \frac{{a + b}}{2} = Rr \hfill \\ x = \frac{{a - b}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και η πρώτη δίδει :

${a^2} - {b^2} = 4Rr \Rightarrow \boxed{R = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{4r}}}$

Η άλλη ακτίνα

Η άλλη ακτίνα

Re: Η άλλη ακτίνα

Re: Η άλλη ακτίνα

Re: Η άλλη ακτίνα

Μέλη σε σύνδεση