Σελίδα 1 από 1

Ίσες γωνίες 41

Δημοσιεύτηκε: Δευ Φεβ 11, 2019 10:02 pm
από KARKAR
Ίσες  γωνίες.png
Ίσες γωνίες.png (13.69 KiB) Προβλήθηκε 457 φορές
Το σημείο M είναι το μέσο της χορδής AB και το N τυχαίο σημείο της .

Η κάθετη της χορδής στο N τέμνει τον κύκλο στο C . Έστω P σημείο

στην προέκταση της CN , ώστε : NP=CN και ας ονομάσουμε S ,

την τομή της PM με τον κύκλο . Δείξτε ότι \theta = \phi .

Re: Ίσες γωνίες 41

Δημοσιεύτηκε: Δευ Φεβ 11, 2019 11:14 pm
από Doloros
Ας είναι K το κέντρο του κύκλου και D το άλλο σημείο τομής της PM με το κύκλο. Φέρνω την ευθεία KM που προφανώς είναι άξονας συμμετρίας του κύκλου .
Αφού στο τρίγωνο MCP η MN είναι μεσοκάθετος , θα είναι ισοσκελές και \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}
Ισες γωνίες 41.png
Ισες γωνίες 41.png (27.05 KiB) Προβλήθηκε 430 φορές
Τα τρίγωνα KMC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KMD είναι αμβλυγώνια κι έχουν ακόμα KM κοινή και KC = KD άρα (έμμεσο κριτήριο) είναι ίσα οπότε θα έχουν MC = MD.

Η ευθεία MK θα είναι έτσι κάθετη στη CD και άρα AB//CD ,

δηλαδή το τετράπλευρο ABDC είναι ισοσκελές τραπέζιο οπότε \boxed{\widehat \phi  = \widehat \theta } ως εγγεγραμμένες του ίδιου κύκλου σε ίσα τόξα.

Re: Ίσες γωνίες 41

Δημοσιεύτηκε: Δευ Φεβ 11, 2019 11:25 pm
από Xriiiiistos
PM τέμνει τον κύκλο για δεύτερη φορά στο R. Αφού NM μεσοκάθετη της CP έχουμε \widehat{CMN}=\widehat{NMP}\Leftrightarrow \widehat{BMP}=\widehat{BMC} Για να είναι ίσες οι γωνίες που ζητάμε αρκεί να δείξουμε πως τα τρίγωνο SMB,CMB είναι όμοια δηλαδή \frac{SM}{MB}=\frac{MB}{CM}\Leftrightarrow MB^{2}=SM\cdot CM=MA\cdot MB (i) όμως από το εγγράψιμο ARBS έχουμε MA\cdot MB=SM\cdot MR=_{(i)}SM\cdot CM οπότε αρκεί να δείξουμε CM=MR

X σημείο του τόξου ACRB ώστε XM\perp AB έχουμε \widehat{CMA}=\widehat{AMP}=\widehat{BMR}\Leftrightarrow 90-\widehat{CMA}=90-\widehat{RMB}\Leftrightarrow \widehat{CMX}=\widehat{XMR} όμως αφού M είναι το μέσο της AB τότε το XM περνάει και από το O ΠΟΥ είναι το κέντρο του κύκλου \widehat{CMO}=\widehat{RMO} τότε to OM ανήκει στην μεσοκάθετο του CR οπότε CR//AB άρα CA=RB \widehat{RBM}=\widehat{MAC} και αφού MA=MB
έχουμε MR=MC

Re: Ίσες γωνίες 41

Δημοσιεύτηκε: Δευ Φεβ 11, 2019 11:32 pm
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
KARKAR έγραψε:
Δευ Φεβ 11, 2019 10:02 pm
Ίσες γωνίες.pngΤο σημείο M είναι το μέσο της χορδής AB και το N τυχαίο σημείο της .Η κάθετη της χορδής στο N τέμνει τον κύκλο στο C . Έστω P σημείο στην προέκταση της CN , ώστε : NP=CN και ας ονομάσουμε S ,την τομή της PM με τον κύκλο . Δείξτε ότι \theta = \phi .
ίσες γωνίες.png
ίσες γωνίες.png (33.44 KiB) Προβλήθηκε 417 φορές
Έστω D το σημείο τομής της στο C καθέτου στην CP με τον κύκλο.
Τότε από AB\parallel CD (κάθετες στην PC προκύπτει ότι το τετράπλευρο ABDC είναι ισοσκελές τραπέζιο (τραπέζιο εγγεγραμμένο σε κύκλο) και συνεπώς

AD = BC\mathop  = \limits^{B \in \,\,\mu \varepsilon \sigma o\kappa \alpha \theta \varepsilon \tau \eta \,\,\tau o\upsilon \,\,CP} PB και με \angle DQB\mathop  = \limits^{\iota \sigma o\sigma \kappa \varepsilon \lambda \varepsilon \varsigma \,\,\tau \rho \alpha \pi \varepsilon \zeta \iota o} \angle ABC\mathop  = \limits^{\sigma \upsilon \mu \mu \varepsilon \tau \rho \iota \alpha \,\,\omega \varsigma \,\,\pi \rho o\varsigma \,\,AB} \angle ABP \Rightarrow ADBP παραλληλόγραμμο (δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες) άρα οι διαγώνιές του διχοτομούνται, δηλαδή η PD διέρχεται από το μέσο M της AB και συνεπώς τα σημεία P,S,M,D είναι συνευθειακά.
Τότε \angle \varphi =\angle \theta (εγγεγραμμένες σε ίσα τόξα (από τις παράλληλες χορδές) του ίδιου κύκλου) και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης