Η σκάλα

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Ένα κλασικό.

Για μαθητές μέχρι 22/3 και μόνο με ευκλείδεια

KARKAR · #2

: Η σκάλα.png (10.37 KiB) Προβλήθηκε 745 φορές

Έμεινε αρκετό χρόνο αναπάντητη , γι' αυτό ας μου επιτραπεί μια υπόδειξη : Όταν η σκάλα

είναι κάθετη στην

, έχει προφανώς μήκος $2\sqrt{2}$ . Αρκεί να δείξουμε ότι για οποιαδήποτε

διαφορετική θέση της σκάλας , έστω A'B'

, θα είναι A'B'>AB

....

nickchalkida · #3

Σκεπτόμενος να δώσω, όσο το δυνατόν πιο απλό σκεπτικό, κατέληξα στο ακόλουθο.
Για να περάσει η σκάλα, πρέπει να περάσουν όλα τα σημεία της. Άρα πρέπει να περάσει και το μέσον.
Ο γεωμετρικός τόπος όμως του μέσου της σκάλας

είναι τo τεταρτοκύκλιο HMG

,
διότι $BM={AC \over 2}=c$ . Δηλαδή για να περάσει το μέσο θα πρέπει $BM <= \sqrt{2}$ ,
που σημαίνει μέγιστο μήκος για τη σκάλα $2 \cdot \sqrt{2}$ .
(Η αιτιολόγηση βασίζεται στην εμπειρική γνώση ότι για να περάσει η σκάλα,
αρκεί να περάσει το μέσον της, υπολείπεται λοιπόν η μαθηματική απόδειξη)

Γενικά άν

τυχαίο σημείο της σκάλας

και

,

, τότε
από την ομοιότητα των τριγώνων ADP

,

παίρνουμε:

$\displaystyle{ \begin{aligned} {a \over X} &= {b \over \sqrt{b^2-Y^2}} \cr {a^2 \over X^2} &= {b^2 \over b^2-Y^2} \cr {X^2 \over a^2} + {Y^2 \over b^2} &= 1\cr \end{aligned} }$

Επομένως, ο γεωμετρικός τόπος τυχόντος σημείου

, με αποστάσεις από τα άκρα της σκάλας

,

είναι ελλειψη με τύπο αυτόν που βρέθηκε.

Λάμπρος Κατσάπας · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 20, 2019 12:23 pm
Η σκάλα.pngΈμεινε αρκετό χρόνο αναπάντητη , γι' αυτό ας μου επιτραπεί μια υπόδειξη : Όταν η σκάλα

είναι κάθετη στην , έχει προφανώς μήκος $2\sqrt{2}$ . Αρκεί να δείξουμε ότι για οποιαδήποτε

διαφορετική θέση της σκάλας , έστω , θα είναι ....

Στο σχήμα του Θανάση και με τη σημείωση στο σχολιασμό του ότι οι σκάλες που είναι σχεδιασμένες είναι

διαφορετικές σκάλες ως προς το μήκος και όχι μια. Το μέγιστο μήκος σκάλας που περνάει ταυτίζεται με το το ελάχιστο

μήκος σκάλας που δεν περνάει. Εκεί έχουμε μια οριακή κατάσταση όπου η σκάλα περνάει και δεν περνάει. Προφανώς μια

σκάλα που δεν περνάει θα ακουμπάει στο

. Σχηματίζουμε το τεταρτοκύκλιο (K,KO).

Αν η

εφάπτεται στο τεταρτοκύκλιο τότε $(AB)=2(OK)=2\sqrt{2}$ (απλό). Θα δείξουμε ότι αυτό είναι το

ελάχιστο μήκος σκάλας που δεν περνάει. Πράγματι αν A'B'

είναι μια άλλη σκάλα που δεν περνάει τότε αυτή θα

τέμνει το τεταρτοκύκλιο σε κάποιο άλλο σημείο εκτός του

και εσωτερικό του OB'

αφού η

εφαπτομένη είναι μοναδική. Από ομοιότητα των τριγώνων OCA',ODB'

έχουμε

$\displaystyle \frac{(A'O)}{(B'O)}=\frac{(CO)}{(DB')}>1\Rightarrow (A'O)>(B'O)$ και επομένως το μέσο

του

είναι εσωτερικό σημείο του A'O

δηλαδή το

είναι εξωτερικό του τεταρτοκυκλίου.

Άρα $\displaystyle (KO')>(KO)\Rightarrow \frac{(A'B')}{2}>\frac{(AB)}{2}\Rightarrow (A'B')>(AB).$

KARKAR · #5

: Η σκάλα.png (10.37 KiB) Προβλήθηκε 604 φορές

Είναι : $A'B'^2=(1+\dfrac{1}{x})^2+(1+x)^2\geq 2(1+\dfrac{1}{x})(1+x)=$

$=2(2+x+\dfrac{1}{x})\geq 8$ , συνεπώς : $A'B' \geq 2\sqrt{2}$ , ό. έ . δ .

#6

Καλησπέρα σε όλους. Το ίδιο ερώτημα με τον Λάμπρο θέτουμε με τον Γιάννη Θωμαΐδη στο 3ο κεφάλαιο της "Οδού Μαθηματικής Σκέψης".

Μεταφέρω την διαφορετική προσέγγιση που δίνουμε εκεί (αφήνω τα ελληνικά σύμβολα για να είναι συμβατή η απάντηση με το σχήμα):

Το ερώτημα της εκφώνησης ίσως να μη γίνεται άμεσα κατανοητό από όλους τους μαθητές. Μπορούμε να δώσουμε βοηθήσουμε τους μαθητές να κατανοήσουν το θέμα, περιγράφοντας την κίνηση της σκάλας ως εξής: «Σέρνουμε τη σκάλα κατά μήκος του τοίχου στην ευθεία που ορίζουν τα Ο, Γ. Μόλις αγγίξει η σκάλα στο Γ, τη στρέφουμε με κέντρο περιστροφής το Ο, ώστε η μία της άκρη να αγγίζει τον τοίχο σε σημείο Α. Αν η άλλη άκρη αγγίξει το απέναντι τοίχο σε σημείο Β, τότε η σκάλα δεν μπορεί να στρίψει στη γωνία. Πρέπει, λοιπόν να έχει μήκος μικρότερο από το μικρότερο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, που διέρχεται από το Ο».

Στο σχολικό βιβλίο δίνονται και οι ακόλουθες υποδείξεις:
i) Να εκφράσετε τα ΟΑ, ΟΒ συναρτήσει της γωνίας θ, $\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi }{2}$ .
ii) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle ({\rm A}{\rm B}) = \frac{1}{{{\rm{\eta \mu }}\theta }} + \frac{1}{{{\rm{\sigma \upsilon \nu }}\theta }} = f(\theta )$ .
iii) Να βρείτε την τιμή της γωνίας θ, για την οποία το ΑΒ γίνεται ελάχιστο.

Λύση:

: 22-03-2019 Ανάλυση.jpg (25.75 KiB) Προβλήθηκε 595 φορές

Στο ΔΟΒ είναι $\displaystyle \eta \mu \theta = \frac{1}{{{\rm B}{\rm O}}} \Leftrightarrow {\rm B}{\rm O} = \frac{1}{{\eta \mu \theta }}$
και στο ΑΟΓ είναι $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \theta = \frac{1}{{{\rm A}{\rm O}}} \Leftrightarrow {\rm A} = \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu \theta }}$ ,

οπότε $\displaystyle {\rm A}{\rm B} = \frac{1}{{{\rm{\eta \mu }}\theta }} + \frac{1}{{{\rm{\sigma \upsilon \nu }}\theta }} = f(\theta ),\;\;\;\theta \in \left( {0,\;\frac{\pi }{2}} \right)$ .

Μπορούμε να αποφύγουμε τα εργαλεία της Ανάλυσης, χρησιμοποιώντας την Ανισότητα Αριθμητικού-Αρμονικού Μέσου.

Ισχύει $\displaystyle \frac{{\eta \mu \theta + \sigma \upsilon \nu \theta }}{2} \ge \frac{2}{{\frac{1}{{\eta \mu \theta }} + \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu \theta }}}} \Rightarrow \frac{1}{{\eta \mu \theta }} + \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu \theta }} \ge \frac{4}{{\eta \mu \theta + \sigma \upsilon \nu \theta }} \ge 2\sqrt 2$ , με το ίσον όταν $\eta \mu \theta = \sigma \upsilon \nu \theta$ , δηλαδή όταν $\displaystyle \theta = \frac{\pi }{4}$ .

ΣΧΟΛΙΟ: Στο βιβλίο σε προηγούμενο θέμα δίνονται μερικές αποδείξεις του μεγίστου της συνάρτησης ${\eta \mu \theta }} + {\sigma \upsilon \nu \theta }$ .

Εδώ το αφήνω ως ερώτημα να απαντηθεί δίχως παραγώγους. (Αν ήταν "εντός ύλης", θα το λέγαμε απολύτως τετριμμένο).

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ:

Οι Τ. Andreescu, Ο. Mushkarov, L. Stoyanov στο Geometric Problems on Maxima and Minima, Birkhaüser Boston, 2006 αναφέρουν ότι αν το πλάτος των διαδρόμων είναι α και β αντίστοιχα, και φ η μία από τις γωνίες που σχηματίζει η ΑΒ με τον ένα τοίχο, τότε

$\displaystyle AB = AO + OB = \frac{\alpha }{{\sigma \upsilon \nu \varphi }} + \frac{\beta }{{\eta \mu \varphi }}$ .

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( \varphi \right) = \frac{\alpha }{{\sigma \upsilon \nu \varphi }} + \frac{\beta }{{\eta \mu \varphi }},\;\;\;\varphi \in \left[ {0,\;\frac{\pi }{2}} \right]$ έχει ελάχιστο όταν $\displaystyle \varepsilon \varphi \varphi = \sqrt[3]{{\frac{\beta }{\alpha }}}$ , την τιμή $\displaystyle {\rm A}{\rm B} = {\left( {{\alpha ^{2/3}} + {\beta ^{2/3}}} \right)^{3/2}}$ .
(Δεν έχω ασχοληθεί με την απόδειξη. Νομίζω πάντως ότι δίχως παραγώγους θα πρέπει να είναι δύσκολη...)

: 22-03-2019 Ανάλυση β.jpg (18.21 KiB) Προβλήθηκε 595 φορές

Η σκάλα

Η σκάλα

Re: Η σκάλα

Re: Η σκάλα

Re: Η σκάλα

Re: Η σκάλα

Re: Η σκάλα

Μέλη σε σύνδεση