Κομψή καθετότητα

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11207
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κομψή καθετότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μαρ 21, 2019 8:37 pm

Κομψή  καθετότητα.png
Κομψή καθετότητα.png (5.56 KiB) Προβλήθηκε 473 φορές
Το σημείο M είναι το μέσο της πλευράς AB , τετραγώνου ABCD .

Η MC τέμνει την BD στο σημείο S . Δείξτε ότι : DM \perp  AS .

Επιθυμητές και λύσεις με ύλη μεγαλύτερων τάξεων :arrow:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6953
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κομψή καθετότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μαρ 21, 2019 9:00 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μαρ 21, 2019 8:37 pm
Κομψή καθετότητα.pngΤο σημείο M είναι το μέσο της πλευράς AB , τετραγώνου ABCD .

Η MC τέμνει την BD στο σημείο S . Δείξτε ότι : DM \perp  AS .

Επιθυμητές και λύσεις με ύλη μεγαλύτερων τάξεων :arrow:
κομψή καθετότητα.png
κομψή καθετότητα.png (14.43 KiB) Προβλήθηκε 465 φορές
CN = NB . οι κίτρινες γωνίες ίσες , οι κόκκινες γωνίες ίσες και DS = DS , άρα :

\vartriangle SKD = \vartriangle SLD \Rightarrow \widehat {SkD} = \widehat {SLD} = 90^\circ .


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 516
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Κομψή καθετότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Μαρ 21, 2019 9:05 pm

Καλησπέρα!

Έστω E=AS\cap BC
Είναι AC\perp BD,AM=MB άρα S βαρύκεντρο του  ABC .EB=EC
Τα ορθογώνια τρίγωνα AMD,AEB είναι ίσα άρα \widehat{MAE}=\widehat{ADM}\Leftrightarrow AS\perp MD


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11803
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Κομψή καθετότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Μαρ 21, 2019 9:30 pm

Με Αναλυτική δεν χρειάζεται να σκεφτούμε καθόλου: Με αρχή των αξόνων το M είναι B(a,0), \, C(a,2a), \, D(-a,2a),\, A(-a,0).

Οπότε η MC είναι y=2x και η BD είναι η y=-x+a. Άρα το σημείο τομής τους είναι S(a/3, 2a/3), και οι AS, \, MD έχουν κλίσεις 1/2, \, -2 αντίστοιχα, που σημαίνει ότι είναι κάθετες.


giannimani
Δημοσιεύσεις: 105
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Κομψή καθετότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Πέμ Μαρ 21, 2019 10:07 pm

perp.png
perp.png (27.24 KiB) Προβλήθηκε 437 φορές
Στο τρίγωνο CAB το S είναι το βαρύκεντρο, οπότε, αν N=(AS)\cap CB, η AN διάμεσος.
Θεωρούμε τη στροφή με κέντρο K (κέντρο του τετραγώνου) και γωνία 90^{\circ}.
Τότε D\rightarrow A, A\rightarrow B, B\rightarrow C, δηλαδή το τρίγωνο DAB μετασχηματίζεται στο ABC.
Επομένως, η διάμεσος DM του \vartriangle DAB ταυτίζεται με την αντίστοιχη διάμεσο AN του \vartriangle ABC.
Εφόσον, όμως η γωνία στροφής είναι 90^{\circ}, αυτό σημαίνει ότι πριν τη στροφή θα είναι
DM \bot AN ή DM \bot AS.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1178
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Κομψή καθετότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Μαρ 21, 2019 10:14 pm

Καλό βράδυ σε όλους.
Κομψή καθετότητα.PNG
Κομψή καθετότητα.PNG (8.34 KiB) Προβλήθηκε 434 φορές
Οι διακεκομμένες ευθείες είναι άξονες συμμετρίας του τετραγώνου: με δίπλωση το μισό συμπίπτει με το άλλο μισό.

Έτσι οι γωνίες με το ίδιο γράμμα είναι ίσες , συνεπώς \widehat{H}=\widehat{B}=90^{0}. Φιλικά , Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3263
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Κομψή καθετότητα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Παρ Μαρ 22, 2019 7:16 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μαρ 21, 2019 8:37 pm
Το σημείο M είναι το μέσο της πλευράς AB , τετραγώνου ABCD .

Η MC τέμνει την BD στο σημείο S . Δείξτε ότι : DM \perp  AS .

Επιθυμητές και λύσεις με ύλη μεγαλύτερων τάξεων :arrow:
Κάτι παρόμοιο με το φίλο Γιώργο.
shape.png
shape.png (13.13 KiB) Προβλήθηκε 407 φορές
Τα τρίγωνα DAM,CBM\,\& \,SBA,SBC είναι ίσα, επομένως τα τρίγωνα DAM,AEM είναι όμοια και το ζητούμενο έπεται.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8792
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κομψή καθετότητα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μαρ 22, 2019 11:34 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μαρ 21, 2019 8:37 pm
Κομψή καθετότητα.pngΤο σημείο M είναι το μέσο της πλευράς AB , τετραγώνου ABCD .

Η MC τέμνει την BD στο σημείο S . Δείξτε ότι : DM \perp  AS .

Επιθυμητές και λύσεις με ύλη μεγαλύτερων τάξεων :arrow:
Έστω 2a η πλευρά του τετραγώνου.
Κομψή καθετότητα.png
Κομψή καθετότητα.png (12.24 KiB) Προβλήθηκε 379 φορές
\displaystyle AD||NB \Leftrightarrow \frac{{2a}}{{NB}} = \frac{{DS}}{{SB}}\mathop  = \limits^{DC||MB} \dfrac{DC}{MB}=\frac{{2a}}{a} \Leftrightarrow NB = a

\displaystyle \tan \varphi  = \frac{{AD}}{{AM}} = 2 = \frac{{AB}}{{BN}} = \tan \omega  \Leftrightarrow \varphi  = \omega , άρα το MENB είναι εγγράψιμο και το ζητούμενο έπεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης