J478 MATHEMATICAL REFLECTIONS

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 927
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

J478 MATHEMATICAL REFLECTIONS

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Πέμ Μάιος 16, 2019 8:22 am

Σας προτείνω το θέμα J478 από το δεύτερο τεύχος του Mathematical Reflections του 2019.
Φυσικά παρήλθε η καταληκτική ημερομηνία υποβολής λύσεων...
Το θέμα προτείνει ο Nguyen Viet Hung , Hanoi University of Science από το Βιετνάμ.


Αποδείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ABC ισχύει η παρακάτω ανισότητα:

4\left ( l_{a}^{2}+ l_{b}^{2}+l_{c}^{2}\right )\leq \left ( a+b+c \right )^{2}

όπου  l_{a}, l_{b},l_{c} οι εσωτερικές διχοτόμοι του τριγώνου.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8434
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: J478 MATHEMATICAL REFLECTIONS

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μάιος 16, 2019 8:48 am

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Πέμ Μάιος 16, 2019 8:22 am
Σας προτείνω το θέμα J478 από το δεύτερο τεύχος του Mathematical Reflections του 2019.
Φυσικά παρήλθε η καταληκτική ημερομηνία υποβολής λύσεων...
Το θέμα προτείνει ο Nguyen Viet Hung , Hanoi University of Science από το Βιετνάμ.


Αποδείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ABC ισχύει η παρακάτω ανισότητα:

4\left ( l_{a}^{2}+ l_{b}^{2}+l_{c}^{2}\right )\leq \left ( a+b+c \right )^{2}

όπου  l_{a}, l_{b},l_{c} οι εσωτερικές διχοτόμοι του τριγώνου.
Καλημέρα Τηλέμαχε!

Υπάρχει στο βιβλίο του Ιωάννου Φ. Πανάκη, ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ, Α ΤΟΜΟΣ (έκδοση 1969), σελίδα 118.
Θα την γράψω αργότερα αν δεν απαντηθεί.


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6172
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: J478 MATHEMATICAL REFLECTIONS

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Παρ Μάιος 17, 2019 12:31 am

Όντως, είναι γνωστότατη και απλή. Είναι άμεση συνέπεια της γνωστής

\displaystyle{\ell _a \leq \sqrt{s(s-a)}.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1475
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: J478 MATHEMATICAL REFLECTIONS

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Μάιος 18, 2019 3:13 pm

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Πέμ Μάιος 16, 2019 8:22 am
Σας προτείνω το θέμα J478 από το δεύτερο τεύχος του Mathematical Reflections του 2019.
Φυσικά παρήλθε η καταληκτική ημερομηνία υποβολής λύσεων...
Το θέμα προτείνει ο Nguyen Viet Hung , Hanoi University of Science από το Βιετνάμ.


Αποδείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ABC ισχύει η παρακάτω ανισότητα:

4\left ( l_{a}^{2}+ l_{b}^{2}+l_{c}^{2}\right )\leq \left ( a+b+c \right )^{2}

όπου  l_{a}, l_{b},l_{c} οι εσωτερικές διχοτόμοι του τριγώνου.
Είναι, \ell_a ^2=\dfrac{4bcs(s-a)}{(b+c)^2}, και τα κυκλικά, οπότε αρκεί \displaystyle \sum \dfrac{4bc(b+c-a)}{(b+c)^2} \leqslant a+b+c.

Όμως, \displaystyle \sum \dfrac{4bc(b+c-a)}{(b+c)^2} \leqslant \sum (b+c-a)=a+b+c, και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες