Το τέταρτο εμβαδόν

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11209
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Το τέταρτο εμβαδόν

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μάιος 30, 2019 1:18 pm

Το  τέταρτο  εμβαδόν.png
Το τέταρτο εμβαδόν.png (15.31 KiB) Προβλήθηκε 338 φορές
Στο παραλληλόγραμμο του σχήματος , οι αριθμοί στο εσωτερικό των τριγώνων είναι τα εμβαδά τους .

Υπολογίστε το εμβαδόν του λευκού τριγώνου , δηλαδή το E .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6955
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Το τέταρτο εμβαδόν

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μάιος 30, 2019 7:55 pm

Με τα δεδομένα νούμερα αναγκαστικά προκύπτει το S μέσο του AD , οπότε εύκολα έχω : E=13



Θέτω : AT = a\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BT = b . Τα ύψη των τριγώνων SAT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CBT προς τις βάσεις a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b έστω ,x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y.

Θα ισχύουν : \left\{ \begin{gathered} 
  ax = 10 \hfill \\ 
  by = 12 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x = \frac{{10}}{a} \hfill \\ 
  y = \frac{{12}}{b} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. . Επιβάλετε όμως : (a + b)(y - x) = 16 \Leftrightarrow 2(a + b)\left( {\dfrac{6}{b} - \dfrac{5}{a}} \right) = 16 \Leftrightarrow (a + b)\left( {\dfrac{6}{b} - \dfrac{5}{a}} \right) = 8
Το τέταρτο εμβαδόν.png
Το τέταρτο εμβαδόν.png (29.74 KiB) Προβλήθηκε 286 φορές

Αν θέσω τώρα : \boxed{a = tb} η προηγούμενη ισότητα γράφεται:

6{t^3} - 7t - 5 = 0 \Rightarrow \boxed{t = \frac{5}{3}} και έτσι : \boxed{\frac{y}{x} = \frac{{6a}}{{5b}} = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{3} = 2} .

Δηλαδή το S είναι μέσο του AD οπότε : \boxed{E = 8 + 5 = 13}

Κι αυτό γιατί όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα το Sείναι μέσο και του τμήματος JT , άρα (CST) = (CJS) \Leftrightarrow E = 13
Το τέταρτο εμβαδόν_τελικό.png
Το τέταρτο εμβαδόν_τελικό.png (23.41 KiB) Προβλήθηκε 259 φορές


Altrian
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Το τέταρτο εμβαδόν

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Παρ Μάιος 31, 2019 10:32 am

Καλημέρα,

Εστω (ABCD)=A και (SAC)=K. Εχουμε:

\dfrac{(SAT)}{(SAC)}=\dfrac{5}{K}=\dfrac{a}{a+b}........[1]

\dfrac{(CAT)}{(CAB)}=\dfrac{\dfrac{A}{2}-6}{\dfrac{A}{2}}=\dfrac{A-12}{A}=\dfrac{a}{a+b}.......[2]

Από [1],[2]\Rightarrow K=\dfrac{5A}{A-12}.......[3]

Επίσης έχουμε ότι: K=\dfrac{A}{2}-8......[4]

Από τις [3],[4]\Rightarrow A^{2}-38A+192=0\Rightarrow A=32\Rightarrow E=32-8-5-6=13
Συνημμένα
το τεταρτο εμβαδο.png
το τεταρτο εμβαδο.png (29.08 KiB) Προβλήθηκε 256 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3263
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Το τέταρτο εμβαδόν

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Παρ Μάιος 31, 2019 5:18 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μάιος 30, 2019 1:18 pm
Στο παραλληλόγραμμο του σχήματος , οι αριθμοί στο εσωτερικό των τριγώνων είναι τα εμβαδά τους .

Υπολογίστε το εμβαδόν του λευκού τριγώνου , δηλαδή το E .
shape.png
shape.png (28.25 KiB) Προβλήθηκε 241 φορές
Θέτω (CSA) = x,\,(CST) = E και θα ισχύει:

(ACD) = (ACB) \Leftrightarrow x + 8 = E + 5 - x + 6 ή E = 2x - 3\,\,(1)

\dfrac{{(SAT)}}{{(STB)}} = \dfrac{{(CAT)}}{{(CTB)}} \Leftrightarrow \dfrac{5}{{x - 5}} = \dfrac{{E + 5 - x}}{6}\,\,(2)

Από το σύστημα των (1),(2) παίρνουμε τη δεκτή λύση (x,E) = (8,13)


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης