Ισοσκελές και λόγος

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6733
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Ισοσκελές και λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιούλ 12, 2019 11:42 pm

Ισοσκελές και λόγος.png
Ισοσκελές και λόγος.png (10.5 KiB) Προβλήθηκε 415 φορές
Σε ισοσκελές τρίγωνο ABC\left( {AB = AC} \right) η διχοτόμος CD έχει διπλάσιο μήκος από το ύψος AK.

Ο κύκλος (A,D,C) τέμνει τη πλευρά BC στο σημείο E και οι ευθείες , ED και KA τέμνονται στο σημείο T

Βρείτε το λόγο : \dfrac{{CD}}{{AT}}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1472
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ισοσκελές και λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Ιούλ 13, 2019 12:12 am

Doloros έγραψε:
Παρ Ιούλ 12, 2019 11:42 pm
Ισοσκελές και λόγος.png
Σε ισοσκελές τρίγωνο ABC\left( {AB = AC} \right) η διχοτόμος CD έχει διπλάσιο μήκος από το ύψος AK.

Ο κύκλος (A,D,C) τέμνει τη πλευρά BC στο σημείο E και οι ευθείες , ED και KA τέμνονται στο σημείο T

Βρείτε το λόγο : \dfrac{{CD}}{{AT}}.
Καλησπέρα κ.Νίκο !

Έστω, A' το συμμετρικό του A ως προς την BC. Τότε, εύκολα προκύπτει πως AA'=2AK=DC, καθώς και ότι \angle DCA'=\angle BCA'+\angle DCB=\angle C+\angle C/2=3\angle C/2=\angle B +\angle C/2=\angle ADC, οπότε \angle DCA'=\angle ADC, συνεπώς DA \parallel CA'.

Άρα, από τις πιο πάνω παρατηρήσεις το DACA' είναι ισοσκελές τραπέζιο. Οπότε, τα D,A,C,A',E είναι ομοκυκλικά.

Προφανώς, τα τρίγωνα \vartriangle EAC, \vartriangle ECA' είναι ίσα (λόγω του συμμετρικού) οπότε αφού τα E,A,C,A' είναι ομοκυκλικά, έχουμε ότι \angle EDC=\angle EAC=\angle EA'C=90^\circ.

Άρα, προκύπτει ότι \angle DEC+\angle DCE=90^\circ \Rightarrow 180^\circ-\angle A+\angle C/2=90^\circ \Rightarrow 5\angle C/2=90^\circ \Rightarrow \angle C=36^\circ.

Οπότε, \angle A=102^\circ, \angle B=\angle C=36^\circ.

Τώρα, τα τρίγωνα \vartriangle TDA, \vartriangle DBC είναι όμοια (απλό angle-chasing) οπότε CD/AT=BD/DA=BC/AC=\sin 108^\circ/\sin 36^\circ=2\cos 36^\circ=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2} που φυσικά ισούται με τον αριθμό \phi !


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8425
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισοσκελές και λόγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιούλ 13, 2019 10:06 am

Doloros έγραψε:
Παρ Ιούλ 12, 2019 11:42 pm
Ισοσκελές και λόγος.png

Σε ισοσκελές τρίγωνο ABC\left( {AB = AC} \right) η διχοτόμος CD έχει διπλάσιο μήκος από το ύψος AK.

Ο κύκλος (A,D,C) τέμνει τη πλευρά BC στο σημείο E και οι ευθείες , ED και KA τέμνονται στο σημείο T

Βρείτε το λόγο : \dfrac{{CD}}{{AT}}.
Έστω BC=a, AB=AC=b. Από τον τύπο της διχοτόμου και τη σχέση CD=2AK έχουμε:
Ισοσκελές και λόγος.png
Ισοσκελές και λόγος.png (10.38 KiB) Προβλήθηκε 369 φορές
\displaystyle ab\left( {1 - \frac{{{b^2}}}{{{{(a + b)}^2}}}} \right) = 4{b^2} - {a^2} \Leftrightarrow {a^4} + 3{a^3}b - {a^2}{b^2} - 8a{b^3} - 4{b^4} = 0, άρα \boxed{\frac{a}{b}=\frac{\sqrt 5+1}{2}=\Phi} (*)

Εύκολα τώρα, είναι \displaystyle \widehat T = \frac{{\widehat C}}{2} = 18^\circ ,\widehat B = A\widehat OT = 36^\circ και από την ομοιότητα των τριγώνων ATD, BDC,

είναι \boxed{\frac{{CD}}{{AT}} = \frac{{DB}}{{DA}} = \frac{a}{b} = \Phi }


(*) Για τη λύση της εξίσωσης θέτω \dfrac{a}{b}=x και η εξίσωση γράφεται:

\displaystyle {x^4} + 3{x^3} - {x^2} - 8x - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^4} + 3{x^3} - 4x - ({x^2} + 4x + 4) = 0 \Leftrightarrow

\displaystyle x\left( {{{(x + 2)}^2}(x - 1)} \right) - {(x + 2)^2} = 0 \Leftrightarrow {(x + 2)^2}({x^2} - x - 1) = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{x > 0} \boxed{x=\Phi}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8425
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισοσκελές και λόγος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιούλ 13, 2019 7:06 pm

Doloros έγραψε:
Παρ Ιούλ 12, 2019 11:42 pm
Ισοσκελές και λόγος.png

Σε ισοσκελές τρίγωνο ABC\left( {AB = AC} \right) η διχοτόμος CD έχει διπλάσιο μήκος από το ύψος AK.

Ο κύκλος (A,D,C) τέμνει τη πλευρά BC στο σημείο E και οι ευθείες , ED και KA τέμνονται στο σημείο T

Βρείτε το λόγο : \dfrac{{CD}}{{AT}}.
Αλλιώς ο υπολογισμός των γωνιών του τριγώνου. Έστω BC=a, AB=AC=b. Το I είναι το έγκεντρο του ABC.
Ισοσκελές και λόγος.β.png
Ισοσκελές και λόγος.β.png (10.27 KiB) Προβλήθηκε 315 φορές
\displaystyle \frac{{AI}}{{AK}} = \frac{{2b}}{{a + 2b}},\frac{{ID}}{{CD}} = \frac{b}{{a + 2b}}\mathop  \Rightarrow \limits^{CD = 2AK} \frac{{AI}}{{AK}} = \frac{{ID}}{{AK}} \Leftrightarrow \boxed{AI=ID} και από το άθροισμα

των γωνιών του τριγώνου AID, \displaystyle 90^\circ  - \frac{{\widehat C}}{2} + 2(90^\circ  - \widehat C) = 180^\circ  \Leftrightarrow \widehat B = \widehat C = 36^\circ  \Rightarrow \frac{a}{b} = \Phi , κλπ.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1677
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισοσκελές και λόγος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Ιούλ 15, 2019 1:34 pm

Doloros έγραψε:
Παρ Ιούλ 12, 2019 11:42 pm
Ισοσκελές και λόγος.png

Σε ισοσκελές τρίγωνο ABC\left( {AB = AC} \right) η διχοτόμος CD έχει διπλάσιο μήκος από το ύψος AK.

Ο κύκλος (A,D,C) τέμνει τη πλευρά BC στο σημείο E και οι ευθείες , ED και KA τέμνονται στο σημείο T

Βρείτε το λόγο : \dfrac{{CD}}{{AT}}.

Με \displaystyle N μέσον της \displaystyle CD\displaystyle  \Rightarrow KN//AB και \displaystyle AK = DN \Rightarrow ANKD ισοσκελές τραπέζιο ,άρα

\displaystyle \angle \frac{A}{2} = \angle CDA \Rightarrow \angle CDT = \angle \frac{A}{2} + B = {90^0} \Rightarrow B + \left( {\frac{B}{2} + B} \right) = {90^0}

Άρα,\displaystyle B = C = {36^0} \Rightarrow {\text{ }}\frac{a}{b} = \phi

\displaystyle \angle KAE = 2B = {72^0} \Rightarrow \angle ETK = {18^0} = \angle AED \Rightarrow TA = AE

και \displaystyle \vartriangle ABE \simeq \vartriangle NKC \Rightarrow \frac{{AE}}{{NC}} = \frac{{AB}}{{KC}} \Rightarrow \frac{{AT}}{{\frac{{CD}}{2}}} = \frac{b}{{\frac{a}{2}}} \Rightarrow \boxed{\frac{{CD}}{{AT}} = \frac{a}{b} = \phi }
ισοσκελές και λόγος.png
ισοσκελές και λόγος.png (28.77 KiB) Προβλήθηκε 282 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης