Ομοκυκλικά και γωνία

KARKAR · #1

: Ομοκυκλικά και γωνία.png (16.03 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές

Με τα σημεία S,T

διαιρέσαμε την υποτείνουσα του ισοσκελούς και ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$

σε τμήματα : BS=3 , ST=5 , TC=4

και έστω

το μέσο της

.

α) Δείξτε ότι : Τα σημεία A,M,T,S

είναι ομοκυκλικά . β) Υπολογίστε τη γωνία $\widehat{SMT}$

#2

: Ομοκυκλικά και γωνία.png (19.86 KiB) Προβλήθηκε 624 φορές

Η κάθε κάθετη πλευρά του τριγώνου ABC

είναι $a = 6\sqrt 2$ . Επειδή τώρα

$CM \cdot CA = 3\sqrt 2 \cdot 6\sqrt 2 = 36 = 4 \cdot 9 = CT \cdot CS$ το τετράπλευρο ASTM

είναι εγγράψιμο σε κύκλο , έστω : (K,R)

.

Αν ο κύκλος κόψει την

στο

τότε : $BD \cdot BA = BS \cdot BT \Rightarrow 6\sqrt 2 BD = 3 \cdot 8$ και άρα :

$BD = 2\sqrt 2 \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD = 4\sqrt 2$ . Προφανώς μια διάμετρος του κύκλου είναι η MD = 2R

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ADM

είναι $2{R^2} = 25 = S{T^2}$ .

Δηλαδή και το τρίγωνο KST

είναι ορθογώνιο οπότε η γωνία $\boxed{\widehat \theta = \frac{1}{2}\widehat {SKT} = 45^\circ }$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 29, 2019 10:55 am
Ομοκυκλικά και γωνία.pngΜε τα σημεία διαιρέσαμε την υποτείνουσα του ισοσκελούς και ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$

σε τμήματα : και έστω το μέσο της .

α) Δείξτε ότι : Τα σημεία είναι ομοκυκλικά . β) Υπολογίστε τη γωνία $\widehat{SMT}$

Είναι $AC=6\sqrt{2}$ άρα $CM\cdot CA=3\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}=36=4\cdot 9=CT\cdot CS$
άρα MTSA

εγγράψιμο.
Με νόμο συνημιτόνων στα CTA,ASB

είναι $AT=2\sqrt{10},AS=3\sqrt{5}$
Είναι $25=40+45-2\cdot 2\sqrt{10}\cdot 3\sqrt{5}\cos\vartheta \Leftrightarrow \cos\vartheta =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Άρα $\vartheta =45^{\circ}$

Ιστοσελίδα · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 29, 2019 10:55 am
Με τα σημεία διαιρέσαμε την υποτείνουσα του ισοσκελούς και ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$

σε τμήματα : και έστω το μέσο της .

α) Δείξτε ότι : Τα σημεία είναι ομοκυκλικά . β) Υπολογίστε τη γωνία $\widehat{SMT}$

: shape.png (17.89 KiB) Προβλήθηκε 619 φορές

α) Είναι $2MA = 2MC = AB = 6\sqrt 2$ , οπότε AMTS

εγγράψιμο μια που $CM \cdot CA = CT \cdot CS = 36$

β) Με στροφή δεξιά του τριγώνου ATC

κατά ${90^ \circ }$ ως προς $A\,( \triangleleft ADB)$ , δημιουργείται το ορθογώνιο τρίγωνο BSD

με υποτείνουσα SD = 5 = TS

Από τον χαρταετό ATSD

και από τη διχοτόμο

της $T\widehat AD = {90^ \circ }$ , η ζητούμενη γωνία ισούται με ${45^ \circ }$

#5

Για το δεύτερο ερώτημα αλλιώς

Φέρνω κάθετη στη

στο

που τέμνει το κύκλο στο

και τη

στο

. Έστω ακόμα

το- άλλο- σημείο τομής του κύκλου με την

.

Είναι $DB = 2\sqrt 2 \,\,\kappa \alpha \iota \,\,DA = 4\sqrt 2$ . Επίσης $SE = SB = 3 \Rightarrow EB = 3\sqrt 2$ .

Δηλαδή : $\left\{ \begin{gathered} \frac{{DE}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{1}{2} \hfill \\ SE \bot SB \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

: Ομοκυκλικά και γωνία_new_1.png (22.19 KiB) Προβλήθηκε 598 φορές

Επομένως η

διχοτόμος του $\vartriangle SAD$ , άρα το

είναι ο νότιος πόλος κι αφού η

είναι διάμετρος θα είναι η

μεσοκάθετος στο

, συνεπώς :

$\boxed{\widehat \theta = \widehat N = \widehat B = 45^\circ }$ .

Τρίτος τρόπος

$\begin{gathered} M{S^2} = C{M^2} + C{S^2} - 2CM \cdot CS\cos 45^\circ \hfill \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 18 + 81 - 54 \hfill \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 45 = 5 \cdot 9 = ST \cdot SC \hfill \\ \end{gathered}$

Δηλαδή η ευθεία

εφάπτεται του (C,M,T)

και άρα $\widehat \theta = \widehat C = 45^\circ$

Altrian · #6

Για το β)
Εύκολα προκύπτει ότι MS=SA

αφού

μεσοκάθετη της

.
$\angle \phi+\angle \theta=\angle MAS=\angle AMS=45+\angle \phi$ (εξωτερική του $\bigtriangleup MCS$ . Αρα $\angle \theta=45$

#7

: Ομοκυκλικά και γωνία_new_3.png (20.05 KiB) Προβλήθηκε 536 φορές

Έστω το τετράγωνο ABEC

με διαγώνιες , BE = AC = 12

και κέντρο

. Έστω ακόμα $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S\,\,$ τα μέσα των $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OB$ , ενώ

το βαρύκεντρο του $\vartriangle AEC$ .

α ) Τα ορθογώνια τρίγωνα $CME\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OAS$ έχουν ανάλογες κάθετες πλευρές άρα είναι όμοια και άρα $\boxed{\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}}$ οπότε τα σημεία A,S,T,M

είναι ομοκυκλικά.

β) $\tan \theta = \tan (\widehat {{a_3}} + \widehat {{a_4}}) = \dfrac{{\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2}}}{{1 - \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2}}} = 1 \Rightarrow \boxed{\theta = 45^\circ }$

Ομοκυκλικά και γωνία

Ομοκυκλικά και γωνία

Re: Ομοκυκλικά και γωνία

Re: Ομοκυκλικά και γωνία

Re: Ομοκυκλικά και γωνία

Re: Ομοκυκλικά και γωνία

Re: Ομοκυκλικά και γωνία

Re: Ομοκυκλικά και γωνία

Μέλη σε σύνδεση