Γωνία από εμβαδόν

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10689
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Γωνία από εμβαδόν

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Αύγ 06, 2019 7:05 pm

Γωνία  από  εμβαδόν.png
Γωνία από εμβαδόν.png (4.94 KiB) Προβλήθηκε 297 φορές
Το εμβαδόν του τριγώνου του σχήματος ισούται με \dfrac{a^2}{8} . Υπολογίστε την μικρότερη γωνία \hat{C}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8222
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γωνία από εμβαδόν

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Αύγ 06, 2019 7:51 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Αύγ 06, 2019 7:05 pm
Γωνία από εμβαδόν.pngΤο εμβαδόν του τριγώνου του σχήματος ισούται με \dfrac{a^2}{8} . Υπολογίστε την μικρότερη γωνία \hat{C}
Για την μικρότερη γωνία \hat{C} ορθογωνίου τριγώνου, υπάρχει άσκηση του σχολικού:\boxed{h_a=\frac {a}{4}\Leftrightarrow  \widehat C = 15^\circ}

Επεξεργασία: Τετάρτη 7 Αυγ 2019, 7:54 am


Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 114
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Γωνία από εμβαδόν

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Τρί Αύγ 06, 2019 9:29 pm

\displaystyle E = \frac{a^2}{8} \Rightarrow \frac{1}{2} ba\sin C=\frac{a^2}{8} \Rightarrow \sin C = \frac{a}{4b}

\displaystyle \frac{b}{\sin B}=2R=a \Rightarrow b = a \sin B

\displaystyle \sin C = \frac{a}{4a  \sin B} \Rightarrow \sin C \cdot \sin B = \frac{1}{4}

\displaystyle \angle B + \angle C = 90^0 \Rightarrow \sin C \cdot \cos C = \frac{1}{4} \Rightarrow

\displaystyle \frac{1}{2} \sin 2C=\frac{1}{4} \Rightarrow \sin 2C=\frac{1}{2} \Rightarrow

\displaystyle \sin 2C=\sin\frac{\pi}{6} \Rightarrow C=\frac{\pi}{12} \Rightarrow C=15^0


Καλό Καλοκαίρι!
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6620
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γωνία από εμβαδόν

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Αύγ 06, 2019 10:27 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Αύγ 06, 2019 7:05 pm
Γωνία από εμβαδόν.pngΤο εμβαδόν του τριγώνου του σχήματος ισούται με \dfrac{a^2}{8} . Υπολογίστε την μικρότερη γωνία \hat{C}
Εμβαδόν και γωνία.png
Εμβαδόν και γωνία.png (22.8 KiB) Προβλήθηκε 255 φορές
Ας είναι AD = h το ύψος του τριγώνου ABC. Θα έχω:

(ABC) = \dfrac{{{a^2}}}{8} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}ah = \dfrac{{{a^2}}}{8} \Leftrightarrow h = \dfrac{a}{4}. Αν O το κέντρο του περιγεγραμμένου

ημικυκλίου διαμέτρου BC = a = 2R θα είναι \boxed{h = \dfrac{R}{2}}.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο DOA αναγκαστικά θα είναι \widehat {AOD} = 30^\circ  \Rightarrow 2\widehat C = 30^\circ  \Rightarrow \boxed{\widehat C = 15^\circ }


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8222
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γωνία από εμβαδόν

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Αύγ 07, 2019 8:01 am

\displaystyle \frac{{bc}}{2} = (ABC) = \frac{{{a^2}}}{8} = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{8} \Leftrightarrow {c^2} - 4bc + {b^2} = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{c < b} \tan C=\frac{c}{b} = 2 - \sqrt 3  \Leftrightarrow \boxed{\hat C=15^\circ}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11289
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Γωνία από εμβαδόν

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Αύγ 07, 2019 11:00 am

Σωστή η απόδειξη αλλά αρπάζω την ευκαιρία να σχολιάσω κάτι για όφελος του angvl.
angvl έγραψε:
Τρί Αύγ 06, 2019 9:29 pm
\displaystyle \frac{b}{\sin B}=2R=a \Rightarrow b = a \sin B
Το δεξί μέλος του παραπάνω είναι άμεσο από τον ορισμό του ημιτόνου στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC. Δεν χρειάζεται δηλαδή να πάμε μέσω Νόμου ημιτόνων. Ξαναγράφω την λύση σου με πιο λιτό ύφος (κάτι που στα Μαθηματικά είναι πλεονέκτημα) ώστε να έχεις έναν μπούσουλα γραφής.

Έχουμε \dfrac {a^2}{8} = E = \dfrac {1}{2} bc = \dfrac {1}{2} (a \cos C) (a\sin C)=   \dfrac {a^2}{4} \sin 2C. Άρα \sin 2C =  \dfrac {1}{2} , από όπου 2C=30 ^o, ή αλλιώς C= 15^o. Τελειώσαμε.


Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 114
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Γωνία από εμβαδόν

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Τετ Αύγ 07, 2019 12:32 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Αύγ 07, 2019 11:00 am
Σωστή η απόδειξη αλλά αρπάζω την ευκαιρία να σχολιάσω κάτι για όφελος του angvl.
angvl έγραψε:
Τρί Αύγ 06, 2019 9:29 pm
\displaystyle \frac{b}{\sin B}=2R=a \Rightarrow b = a \sin B
Το δεξί μέλος του παραπάνω είναι άμεσο από τον ορισμό του ημιτόνου στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC. Δεν χρειάζεται δηλαδή να πάμε μέσω Νόμου ημιτόνων. Ξαναγράφω την λύση σου με πιο λιτό ύφος (κάτι που στα Μαθηματικά είναι πλεονέκτημα) ώστε να έχεις έναν μπούσουλα γραφής.

Έχουμε \dfrac {a^2}{8} = E = \dfrac {1}{2} bc = \dfrac {1}{2} (a \cos C) (a\sin C)=   \dfrac {a^2}{4} \sin 2C. Άρα \sin 2C =  \dfrac {1}{2} , από όπου 2C=30 ^o, ή αλλιώς C= 15^o. Τελειώσαμε.
Η αλήθεια είναι ότι αυτό είχα στο μυαλό μου ,αλλά στην πορεία βγήκα λίγο εκτός δρόμου! :lol:

Ευχαριστώ κ.Λάμπρου! Πάντα οι υποδείξεις σας είναι εύστοχες και διδακτικές!!


Καλό Καλοκαίρι!
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1630
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Γωνία από εμβαδόν

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Αύγ 08, 2019 2:46 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Αύγ 06, 2019 7:05 pm
Γωνία από εμβαδόν.pngΤο εμβαδόν του τριγώνου του σχήματος ισούται με \dfrac{a^2}{8} . Υπολογίστε την μικρότερη γωνία \hat{C}

\displaystyle BCDE είναι τετράγωνο πλευράς \displaystyle a

Με \displaystyle P συμμετρικό του \displaystyle B ως προς\displaystyle AC \Rightarrow \left( {PBC} \right) = \frac{{{\alpha ^2}}}{4} = \left( {OBC} \right) \Rightarrow PO//BC

Έτσι, \displaystyle PO μεσοκάθετος της \displaystyle CD \Rightarrow DP = CP = \alpha  \Rightarrow \angle DCP = {60^0} \Rightarrow 2C = {30^0} \Rightarrow \boxed{C = {{15}^0}}
Γωνία από εμβαδόν.png
Γωνία από εμβαδόν.png (24.68 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10689
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Γωνία από εμβαδόν

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Αύγ 08, 2019 7:06 am

Της νύχτας τα καμώματα τα βλέπει η μέρα και ... ζηλεύει :clap2: Μιχάλη


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης