Σελίδα 1 από 1

Γωνία από εμβαδόν

Δημοσιεύτηκε: Τρί Αύγ 06, 2019 7:05 pm
από KARKAR
Γωνία  από  εμβαδόν.png
Γωνία από εμβαδόν.png (4.94 KiB) Προβλήθηκε 401 φορές
Το εμβαδόν του τριγώνου του σχήματος ισούται με \dfrac{a^2}{8} . Υπολογίστε την μικρότερη γωνία \hat{C}

Re: Γωνία από εμβαδόν

Δημοσιεύτηκε: Τρί Αύγ 06, 2019 7:51 pm
από george visvikis
KARKAR έγραψε:
Τρί Αύγ 06, 2019 7:05 pm
Γωνία από εμβαδόν.pngΤο εμβαδόν του τριγώνου του σχήματος ισούται με \dfrac{a^2}{8} . Υπολογίστε την μικρότερη γωνία \hat{C}
Για την μικρότερη γωνία \hat{C} ορθογωνίου τριγώνου, υπάρχει άσκηση του σχολικού:\boxed{h_a=\frac {a}{4}\Leftrightarrow  \widehat C = 15^\circ}

Επεξεργασία: Τετάρτη 7 Αυγ 2019, 7:54 am

Re: Γωνία από εμβαδόν

Δημοσιεύτηκε: Τρί Αύγ 06, 2019 9:29 pm
από angvl
\displaystyle E = \frac{a^2}{8} \Rightarrow \frac{1}{2} ba\sin C=\frac{a^2}{8} \Rightarrow \sin C = \frac{a}{4b}

\displaystyle \frac{b}{\sin B}=2R=a \Rightarrow b = a \sin B

\displaystyle \sin C = \frac{a}{4a  \sin B} \Rightarrow \sin C \cdot \sin B = \frac{1}{4}

\displaystyle \angle B + \angle C = 90^0 \Rightarrow \sin C \cdot \cos C = \frac{1}{4} \Rightarrow

\displaystyle \frac{1}{2} \sin 2C=\frac{1}{4} \Rightarrow \sin 2C=\frac{1}{2} \Rightarrow

\displaystyle \sin 2C=\sin\frac{\pi}{6} \Rightarrow C=\frac{\pi}{12} \Rightarrow C=15^0

Re: Γωνία από εμβαδόν

Δημοσιεύτηκε: Τρί Αύγ 06, 2019 10:27 pm
από Doloros
KARKAR έγραψε:
Τρί Αύγ 06, 2019 7:05 pm
Γωνία από εμβαδόν.pngΤο εμβαδόν του τριγώνου του σχήματος ισούται με \dfrac{a^2}{8} . Υπολογίστε την μικρότερη γωνία \hat{C}
Εμβαδόν και γωνία.png
Εμβαδόν και γωνία.png (22.8 KiB) Προβλήθηκε 359 φορές
Ας είναι AD = h το ύψος του τριγώνου ABC. Θα έχω:

(ABC) = \dfrac{{{a^2}}}{8} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}ah = \dfrac{{{a^2}}}{8} \Leftrightarrow h = \dfrac{a}{4}. Αν O το κέντρο του περιγεγραμμένου

ημικυκλίου διαμέτρου BC = a = 2R θα είναι \boxed{h = \dfrac{R}{2}}.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο DOA αναγκαστικά θα είναι \widehat {AOD} = 30^\circ  \Rightarrow 2\widehat C = 30^\circ  \Rightarrow \boxed{\widehat C = 15^\circ }

Re: Γωνία από εμβαδόν

Δημοσιεύτηκε: Τετ Αύγ 07, 2019 8:01 am
από george visvikis
\displaystyle \frac{{bc}}{2} = (ABC) = \frac{{{a^2}}}{8} = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{8} \Leftrightarrow {c^2} - 4bc + {b^2} = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{c < b} \tan C=\frac{c}{b} = 2 - \sqrt 3  \Leftrightarrow \boxed{\hat C=15^\circ}

Re: Γωνία από εμβαδόν

Δημοσιεύτηκε: Τετ Αύγ 07, 2019 11:00 am
από Mihalis_Lambrou
Σωστή η απόδειξη αλλά αρπάζω την ευκαιρία να σχολιάσω κάτι για όφελος του angvl.
angvl έγραψε:
Τρί Αύγ 06, 2019 9:29 pm
\displaystyle \frac{b}{\sin B}=2R=a \Rightarrow b = a \sin B
Το δεξί μέλος του παραπάνω είναι άμεσο από τον ορισμό του ημιτόνου στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC. Δεν χρειάζεται δηλαδή να πάμε μέσω Νόμου ημιτόνων. Ξαναγράφω την λύση σου με πιο λιτό ύφος (κάτι που στα Μαθηματικά είναι πλεονέκτημα) ώστε να έχεις έναν μπούσουλα γραφής.

Έχουμε \dfrac {a^2}{8} = E = \dfrac {1}{2} bc = \dfrac {1}{2} (a \cos C) (a\sin C)=   \dfrac {a^2}{4} \sin 2C. Άρα \sin 2C =  \dfrac {1}{2} , από όπου 2C=30 ^o, ή αλλιώς C= 15^o. Τελειώσαμε.

Re: Γωνία από εμβαδόν

Δημοσιεύτηκε: Τετ Αύγ 07, 2019 12:32 pm
από angvl
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Αύγ 07, 2019 11:00 am
Σωστή η απόδειξη αλλά αρπάζω την ευκαιρία να σχολιάσω κάτι για όφελος του angvl.
angvl έγραψε:
Τρί Αύγ 06, 2019 9:29 pm
\displaystyle \frac{b}{\sin B}=2R=a \Rightarrow b = a \sin B
Το δεξί μέλος του παραπάνω είναι άμεσο από τον ορισμό του ημιτόνου στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC. Δεν χρειάζεται δηλαδή να πάμε μέσω Νόμου ημιτόνων. Ξαναγράφω την λύση σου με πιο λιτό ύφος (κάτι που στα Μαθηματικά είναι πλεονέκτημα) ώστε να έχεις έναν μπούσουλα γραφής.

Έχουμε \dfrac {a^2}{8} = E = \dfrac {1}{2} bc = \dfrac {1}{2} (a \cos C) (a\sin C)=   \dfrac {a^2}{4} \sin 2C. Άρα \sin 2C =  \dfrac {1}{2} , από όπου 2C=30 ^o, ή αλλιώς C= 15^o. Τελειώσαμε.
Η αλήθεια είναι ότι αυτό είχα στο μυαλό μου ,αλλά στην πορεία βγήκα λίγο εκτός δρόμου! :lol:

Ευχαριστώ κ.Λάμπρου! Πάντα οι υποδείξεις σας είναι εύστοχες και διδακτικές!!

Re: Γωνία από εμβαδόν

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Αύγ 08, 2019 2:46 am
από Μιχάλης Τσουρακάκης
KARKAR έγραψε:
Τρί Αύγ 06, 2019 7:05 pm
Γωνία από εμβαδόν.pngΤο εμβαδόν του τριγώνου του σχήματος ισούται με \dfrac{a^2}{8} . Υπολογίστε την μικρότερη γωνία \hat{C}

\displaystyle BCDE είναι τετράγωνο πλευράς \displaystyle a

Με \displaystyle P συμμετρικό του \displaystyle B ως προς\displaystyle AC \Rightarrow \left( {PBC} \right) = \frac{{{\alpha ^2}}}{4} = \left( {OBC} \right) \Rightarrow PO//BC

Έτσι, \displaystyle PO μεσοκάθετος της \displaystyle CD \Rightarrow DP = CP = \alpha  \Rightarrow \angle DCP = {60^0} \Rightarrow 2C = {30^0} \Rightarrow \boxed{C = {{15}^0}}
Γωνία από εμβαδόν.png
Γωνία από εμβαδόν.png (24.68 KiB) Προβλήθηκε 261 φορές

Re: Γωνία από εμβαδόν

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Αύγ 08, 2019 7:06 am
από KARKAR
Της νύχτας τα καμώματα τα βλέπει η μέρα και ... ζηλεύει :clap2: Μιχάλη