Τόπος για νέους

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10842
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τόπος για νέους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Αύγ 07, 2019 6:07 pm

Τόπος  για  νέους.png
Τόπος για νέους.png (7.88 KiB) Προβλήθηκε 422 φορές
\bigstar Σε σημείο S της υποτείνουσας BC του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC , υψώνω κάθετη ,

η οποία τέμνει τις ευθείες AC,AB στα σημεία P,T αντίστοιχα . Βρείτε τον γεωμετρικό

τόπο του μέσου M , του τμήματος PT . (Υπενθύμιση : "\bigstar " σημαίνει 24 ώρες στους μαθητές ).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 115
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Τόπος για νέους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Πέμ Αύγ 08, 2019 6:25 pm

toposgianeous.png
toposgianeous.png (200.57 KiB) Προβλήθηκε 351 φορές
΄Εστω

\displaystyle B(0,0) , C(5,0), S(a,0)

\displaystyle \angle BAC = 90^0 , AB = 3 , AC=4

Είναι

\displaystyle  \tan \angle ABC = \frac{4}{3} \Rightarrow

\displaystyle  \lambda _{AB} = \frac{4}{3} \Rightarrow AB: y = \frac{4}{3}x

\displaystyle ST : x= a

\displaystyle  T \equiv AB \cap ST \Rightarrow T(a,\frac{4}{3}a)

\displaystyle  \tan \angle ACB = \frac{3}{4} \Rightarrow

\displaystyle \tan \angle (180^0 - \angle ACB ) = - \tan \angle ACB = -\frac{3}{4} \Rightarrow \lambda_{AC} = -\frac{3}{4} \Rightarrow

\displaystyle AC : y = -\frac{3}{4}(x-5)

\displaystyle P \equiv AC \cap ST \Rightarrow

\displaystyle \left\{\begin{matrix}y = -\frac{3}{4}(x-5) &   \\x=a & \end{matrix}\right \Rightarrow  P(a,\frac{15}{4}-\frac{3a}{4})

\displaystyle M μέσο  PT αρα \displaystyle M(a,\frac{45+7a}{24})

Σνεπώς \displaystyle x =a και \displaystyle y = \frac{45+7a}{24}

Απαλοίφοντας το a απο τις δύο αυτές σχέσεις βρίσκουμε ότι  \displaystyle y=\frac{45+7x}{24} \Rightarrow

\displaystyle 7x-24y = -45

Αρα ο γ.τ των σημείων \displaystyle M είναι η ευθεία \displaystyle 7x-24y = -45


Καλό Καλοκαίρι!
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8402
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τόπος για νέους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Αύγ 08, 2019 7:48 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Αύγ 07, 2019 6:07 pm
Τόπος για νέους.png\bigstar Σε σημείο S της υποτείνουσας BC του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC , υψώνω κάθετη ,

η οποία τέμνει τις ευθείες AC,AB στα σημεία P,T αντίστοιχα . Βρείτε τον γεωμετρικό

τόπο του μέσου M , του τμήματος PT . (Υπενθύμιση : "\bigstar " σημαίνει 24 ώρες στους μαθητές ).
Έστω N το μέσο της BC.
Τόπος για νέους.png
Τόπος για νέους.png (13.11 KiB) Προβλήθηκε 328 φορές
Οι πράσινες γωνίες είναι ίσες ως συμπληρωματικές της A\widehat BC. Εύκολα τώρα και οι μπλε γωνίες είναι ίσες, άρα το AMSN

είναι εγγράψιμο και AM\bot AN. Επομένως το M κινείται σε ευθεία κάθετη στην AN στο A. Επειδή όμως το S είναι σημείο

της υποτείνουσας BC, ο ζητούμενος τόπος περιορίζεται στο ευθύγραμμο τμήμα KL (BK, CL\bot BC).


miltosk
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2019 7:28 pm

Re: Τόπος για νέους

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από miltosk » Πέμ Αύγ 08, 2019 9:37 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Αύγ 07, 2019 6:07 pm
Τόπος για νέους.png\bigstar Σε σημείο S της υποτείνουσας BC του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC , υψώνω κάθετη ,

η οποία τέμνει τις ευθείες AC,AB στα σημεία P,T αντίστοιχα . Βρείτε τον γεωμετρικό

τόπο του μέσου M , του τμήματος PT . (Υπενθύμιση : "\bigstar " σημαίνει 24 ώρες στους μαθητές ).
Έστω D το ίχνος το ύψους από την A στη BC και D' το αρμονικό συζυγές του D ως προς τα B,C. Τότε η δέσμη AB,AD,AC,AD' είναι αρμονική. Η PT είναι παράλληλη προς την AD επομένως οι υπόλοιπες ευθείες της δέσμης τέμνουν την σε 3 σημεία εκ των οποίων το ένα είναι το μέσο του τμήματος που ορίζουν τα άλλα δύο. Έτσι το μέσο M κινείται επί της ευθείας AD'.
ΥΓ:Γνωρίζω ότι η αρμονική γεωμετρία δεν είναι στην ύλη νέων παρ' όλα αυτά επισυνάπτω αυτή διότι δουλεύει για οποιοδήποτε τυχαίο τρίγωνο.


kfd
Δημοσιεύσεις: 95
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 05, 2014 9:04 pm

Re: Τόπος για νέους

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kfd » Κυρ Αύγ 11, 2019 7:04 pm

A(0,0),B(b,0),C(0,c) ισχύει BC^{2}=b^{2}+c^{2} και η ευθεία BC έχει εξίσωση
\frac{x}{b}+\frac{y}{c}=1 με κλίση -\frac{c}{b}. Αν S(x_{0},y_{0}) θα είναι 0\leq x_{0\ }\leq b και y_{0}=\left ( 1-\frac{x_{0}}{b} \right )c.
Η κάθετη ευθεία στο S έχει εξίσωση y=\frac{b}{c}x+c-\frac{BC^{2}}{bc}x_{0}.
Για χ και y αντίστοιχα 0 αυτή δίνει τις συντ/νες των P,Τ αντίστοιχα:y=c-\frac{BC^{2}}{bc}x_{0},x=\frac{BC^{2}}{b^{2}}x_{0}-\frac{c^{2}}{b}.
To M έχει συντ/νες \frac{x}{2} και \frac{y}{2}, ενώ ισχύει -\frac{b}{c}\left ( \frac{BC^{2}}{2b^{2}}x_{0}-\frac{c^{2}}{2b} \right )=-\frac{BC^{2}}{2bc}x_{0}+\frac{c}{2}=\frac{y}{2}, δηλαδή ο γτ του Μ είναι τμήμα της ευθείας y=-\frac{b}{c}\cdot x, με -\frac{c^{2}}{2b}\leq x\leq \frac{b}{2}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης