Άθροισμα λόγων

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Eustathia p.
Δημοσιεύσεις: 28
Εγγραφή: Τετ Ιαν 06, 2016 5:05 pm

Άθροισμα λόγων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eustathia p. » Παρ Αύγ 30, 2019 7:16 pm

Αθροισμα λόγων.png
Αθροισμα λόγων.png (5.44 KiB) Προβλήθηκε 308 φορές
Δίδεται τρίγωνο ABC . Ευθύγραμμο τμήμα DE με D,E στις AB,AC αντίστοιχα διέρχεται από το βαρύκεντρο G του τριγώνου ABC.

Δείξετε ότι, \dfrac{{DB}}{{DA}} + \dfrac{{EC}}{{EA}} = 1



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 425
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Άθροισμα λόγων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Αύγ 30, 2019 10:00 pm

Eustathia p. έγραψε:
Παρ Αύγ 30, 2019 7:16 pm
Αθροισμα λόγων.png

Δίδεται τρίγωνο ABC . Ευθύγραμμο τμήμα DE με D,E στις AB,AC αντίστοιχα διέρχεται από το βαρύκεντρο G του τριγώνου ABC.

Δείξετε ότι, \dfrac{{DB}}{{DA}} + \dfrac{{EC}}{{EA}} = 1
Έστω M\equiv BC\cap AG,N\equiv DE\cap BC

Από το θεώρημα του Μενελάου στα \overset{\Delta }{ABM},\overset{\Delta }{AMC} με διατέμνουσες \overline{DGN},\overline{GEN} αντίστοιχα έχουμε :

\left\{\begin{matrix} & \dfrac{BD}{DA}\cdot \dfrac{GA}{GM}\cdot \dfrac{MN}{BN}=1 & \\ \\ & \dfrac{CE}{EA}\cdot \dfrac{GA}{GM}\cdot \dfrac{MN}{CN}=1 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & \dfrac{BD}{DA}=\dfrac{BN}{2MN} & \\ \\ & \dfrac{EC}{AE} =\dfrac{CN}{2MN}& \end{matrix}\right.\Rightarrow \dfrac{BD}{DA}+ \dfrac{EC}{AE}=\dfrac{CN+BN}{2MN}=\dfrac{2CN+2BM}{2BM+2CN}=1
120.PNG
120.PNG (15.03 KiB) Προβλήθηκε 263 φορές


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1697
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Άθροισμα λόγων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Αύγ 31, 2019 5:42 am

Eustathia p. έγραψε:
Παρ Αύγ 30, 2019 7:16 pm
Αθροισμα λόγων.png

Δίδεται τρίγωνο ABC . Ευθύγραμμο τμήμα DE με D,E στις AB,AC αντίστοιχα διέρχεται από το βαρύκεντρο G του τριγώνου ABC.

Δείξετε ότι, \dfrac{{DB}}{{DA}} + \dfrac{{EC}}{{EA}} = 1

Με BF,CH \| AM η MG είναι διάμεσος του τραπεζίου FBCH

 \dfrac{BD}{DA} + \dfrac{CE}{EA}= \dfrac{BF}{AG}+ \dfrac{CH}{AG} = \dfrac{BF+CH}{AG}= \dfrac{2GM}{AG} =1
Άθροισμα λόγων.png
Άθροισμα λόγων.png (50.99 KiB) Προβλήθηκε 212 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8523
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άθροισμα λόγων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Αύγ 31, 2019 10:23 am

Eustathia p. έγραψε:
Παρ Αύγ 30, 2019 7:16 pm
Αθροισμα λόγων.png

Δίδεται τρίγωνο ABC . Ευθύγραμμο τμήμα DE με D,E στις AB,AC αντίστοιχα διέρχεται από το βαρύκεντρο G του τριγώνου ABC.

Δείξετε ότι, \dfrac{{DB}}{{DA}} + \dfrac{{EC}}{{EA}} = 1
Από το μέσο M της BC φέρνω MF||AB, MZ||AC και εύκολα βρίσκω AD=2MF, AE=2MZ.
Άθροισμα λόγων..png
Άθροισμα λόγων..png (11.14 KiB) Προβλήθηκε 188 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
\dfrac{{BD}}{{DA}} = \dfrac{{BD}}{{2MF}} = \dfrac{{BH}}{{2MH}}\\ 
\\ 
\dfrac{{CE}}{{EA}} = \dfrac{{CE}}{{2MZ}} = \dfrac{{CH}}{{2MH}} 
\end{array} \right.\mathop  \Rightarrow \limits^ \oplus  \dfrac{{BD}}{{DA}} + \dfrac{{CE}}{{EA}} = \dfrac{{BH + CH}}{{2MH}} = 1


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης