Ζητείται λόγος-6.

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1152
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Ζητείται λόγος-6.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Παρ Δεκ 20, 2019 6:33 pm

10.png
10.png (8.29 KiB) Προβλήθηκε 117 φορές


Καλησπέρα.

Στο εσωτερικό τετραγώνου ABCD και με διάμετρο τη AB σχεδιάσω ημικύκλιο.
Στη συνέχεια κατασκευάζω κύκλο του οποίου το κέντρο O βρίσκεται πάνω στο
ημικύκλιο και διέρχεται από τη κορυφή B και από το μέσο M της BC.
Αν αυτός τέμνει το ημικύκλιο στο E και η BE την DC στο N,
να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{DN}{NC}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6947
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ζητείται λόγος-6.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Δεκ 20, 2019 9:12 pm

Ζητείται ο λόγος_6_Lema.png
Ζητείται ο λόγος_6_Lema.png (13.78 KiB) Προβλήθηκε 96 φορές
Είναι απλό να δείξουμε ότι BM = BE και άρα τα τρίγωνα EBA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ABF \to \left( {90^\circ ,60^\circ ,30^\circ } \right).

καθώς και το EAF.

AF = 2AE \Rightarrow k + 2R = 2R\sqrt 3  \Rightarrow \boxed{k = 2R\left( {\sqrt 3  - 1} \right)} (1)

Επειδή AB//DN έχω: \boxed{\frac{x}{{2R}} = \frac{k}{{k + 2R}}\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} x = \frac{{2R\left( {3 - \sqrt 3 } \right)}}{3}} συνεπώς
Ζητείται ο λόγος_6.png
Ζητείται ο λόγος_6.png (16.64 KiB) Προβλήθηκε 96 φορές
\boxed{y = \frac{{2R\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 3  - 1}


Η τελευταία προκύπτει άμεσα κι από την την (1)


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1734
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ζητείται λόγος-6.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Δεκ 20, 2019 11:04 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Παρ Δεκ 20, 2019 6:33 pm
10.png



Καλησπέρα.

Στο εσωτερικό τετραγώνου ABCD και με διάμετρο τη AB σχεδιάσω ημικύκλιο.
Στη συνέχεια κατασκευάζω κύκλο του οποίου το κέντρο O βρίσκεται πάνω στο
ημικύκλιο και διέρχεται από τη κορυφή B και από το μέσο M της BC.
Αν αυτός τέμνει το ημικύκλιο στο E και η BE την DC στο N,
να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{DN}{NC}.

Η  DB περνά από το μέσο P του ημικυκλίου

Το O ανήκει στην μεσοκάθετη της MB \Rightarrow BO=OK \Rightarrow AK=AB=DK=a

και  \angle PKA= \angle CBN=30^0 \Rightarrow CN= \dfrac{a \sqrt{3} }{3} \Rightarrow DN= \dfrac{3a-a \sqrt{3} }{3}  .Άρα,\dfrac{DN}{NC}= \sqrt{3}-1

Ζητείται λόγος-6.png
Ζητείται λόγος-6.png (31.67 KiB) Προβλήθηκε 78 φορές


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1853
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ζητείται λόγος-6.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Δεκ 21, 2019 12:49 pm

\hat{ΟΒΜ}=\nu =\hat{ΟΜΒ},
Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Παρ Δεκ 20, 2019 6:33 pm
10.png



Καλησπέρα.

Στο εσωτερικό τετραγώνου ABCD και με διάμετρο τη AB σχεδιάσω ημικύκλιο.
Στη συνέχεια κατασκευάζω κύκλο του οποίου το κέντρο O βρίσκεται πάνω στο
ημικύκλιο και διέρχεται από τη κορυφή B και από το μέσο M της BC.
Αν αυτός τέμνει το ημικύκλιο στο E και η BE την DC στο N,
να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{DN}{NC}.
Καλημέρα

Εστω ότι \hat{EBK}=\hat{\varphi },\hat{EBO}=\hat{\omega },


\hat{OBM}=\hat{OMB}=\nu

Από γωνία χορδή εφαπτομένη και την αντιστοιχη επικεντρη γωνία είναι 2\nu =90-\varphi ,2\omega =90-\varphi συνεπως \omega =\nu και το τρίγωνο EBM
είναι ισοσκελές με EB=BM=\dfrac{a}{2}

Το τρίγωνο EKB είναι ισόπλευρο και \hat{BNC}=\varphi =60^{0},DN=x,NC=a-x,


NC=\dfrac{NB}{2},NB^{2}=a^{2}+(a-x)^{2}

\Rightarrow 4(a-x)^{2}=a^{2}+(a-x)^{2}\Rightarrow 3x^{2}-6ax+2a^{2}=0

\Rightarrow \dfrac{a}{x}=\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \dfrac{x}{a-x}=\sqrt{3}-1

Η άλλη ρίζα απορρίπτεται
Συνημμένα
Ζητείται λόγος 6.png
Ζητείται λόγος 6.png (79.53 KiB) Προβλήθηκε 41 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης