Ώρα συνεφαπτομένης 4

KARKAR · #1

: Ώρα συνεφαπτομένης 4.png (9.89 KiB) Προβλήθηκε 2035 φορές

$\bigstar$ Στο επισυναπτόμενο σχήμα , υπολογίστε την : $\cot\theta$

angvl · #2

(εκτός φακέλου).Θεωρώ ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με $\displaystyle A(0,0) , E(4,0), C(0,6), D(0,2), B(8,0)$ και έστω $\displaystyle \lambda_{1}$ η κλίση της ευθείας

και $\lambda_{2}$ της

.

$\displaystyle \lambda_{1} = \frac{0-6}{4-0} = \frac{-3}{2}$ , $\displaystyle \lambda_{2} = \frac{2-0}{0-8} = \frac{-1}{4}$

Η οξεία γωνία δύο ευθειών δίνεται απ την σχέση: $\displaystyle \tan \theta =| \frac{\lambda_{1}- \lambda_{2}}{1+\lambda_{1}\lambda_{2}}|$ . Αρα

$\displaystyle \tan \theta = |\frac{\frac{-3}{2}+\frac{1}{4}}{1+\frac{3}{8}}| = \frac{10}{11} \Rightarrow \cot \theta = \frac{11}{10}$

#3

Αναμένοντας λύση εντός φακέλου.

: Ώρα συνεφαπτομένης 4.png (10.1 KiB) Προβλήθηκε 1957 φορές

$\displaystyle \cot \theta = \cot (\varphi - \omega ) = \frac{{\cot \varphi \cot \omega + 1}}{{\cot \omega - \cot \varphi }} = \frac{{\frac{2}{3} \cdot 4 + 1}}{{4 - \frac{2}{3}}} = \frac{{11}}{{10}}$

#4

KARKAR έγραψε: Δευ Φεβ 10, 2020 10:17 pm Ώρα συνεφαπτομένης 4.png $\bigstar$ Στο επισυναπτόμενο σχήμα , υπολογίστε την : $\cot\theta$

: Ωρα συνεφαπτομένης_oritzin_2.png (25.46 KiB) Προβλήθηκε 1921 φορές

$\left\{ \begin{gathered} M{E^2} = 16 + 1 = 17 \hfill \\ CE = \sqrt {16 + 36} = 2\sqrt {13} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\vartriangle AEC \approx \vartriangle TMC \Rightarrow \boxed{x = \frac{{10}}{{\sqrt {13} }}}\,\,\,(1)$ . Π. Θ. στο $\vartriangle TME$ κι έχω:

$\boxed{TE = \frac{{11}}{{\sqrt {13} }} \Rightarrow \cot \theta = \frac{y}{x} = \frac{{11}}{{10}}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Δευ Φεβ 10, 2020 10:17 pm Ώρα συνεφαπτομένης 4.png $\bigstar$ Στο επισυναπτόμενο σχήμα , υπολογίστε την : $\cot\theta$

Είναι $tan \omega = \dfrac{2}{3} ,tan \varphi =-tany=-4$ και

$tan \theta +tan \omega +tan \varphi =tan \theta . tan \omega . tan \varphi \Rightarrow tan \theta - \dfrac{10}{3} =- \dfrac{8}{3}tan \theta \Rightarrow tan \theta = \dfrac{10}{11}$ $\Rightarrow cot \theta = \dfrac{11}{10}$

: Ώρα συνεφαπτομένης 4.png (22.31 KiB) Προβλήθηκε 1895 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #6

Καλημέρα σε όλους!

: Ωρα συνεφαπτομένης.PNG (8.5 KiB) Προβλήθηκε 1880 φορές

Φέρω $CH \parallel DB$ και $EQ \perp HC$ .Εύκολα βρίσκουμε $BH=16...AH=24..HC^{2}=612$ .

Το AEQC

είναι εγγράψιμο άρα $HC \cdot HQ=HE\cdot HA=20\cdot 24=480$ .

Ακόμη $HC\cdot EQ=2\left ( ECH \right )=EH\cdot AC$ συνεπώς $\dfrac{CQ}{EQ}=\dfrac{HC\cdot CQ}{AC\cdot EH}$

ενώ $HC\cdot CQ=HC\left ( HC-HQ \right )=HC^{2}-HC\cdot HQ=612-480=132$

άρα $cot\theta =\dfrac{CQ}{EQ}=\dfrac{132}{6\cdot 20}=\dfrac{11}{10}$ . Φιλικά, Γιώργος.

#7

: Ωρα συνεφαπτομένης_3.png (20.97 KiB) Προβλήθηκε 1854 φορές

Γράφω το κύκλο που διέρχεται από τα S,D,E

και ας είναι

το-άλλο- σημείο τομής του με την

.

Έστω ακόμη

το μέσο του

και

.

Προφανώς $\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\omega _{}}}\,\,(1)$ .

Επίσης ME//DS

και άρα : $\boxed{CS = \frac{4}{5}CE \Rightarrow CS \cdot CE = \frac{4}{5}C{E^2} = \frac{4}{5}\left( {16 + 36} \right) = \frac{{208}}{5}\,\,(2)}$

Επειδή $\boxed{CS \cdot CE = CD \cdot CT\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)} \frac{{208}}{5} = 4\left( {6 + x} \right)} \Rightarrow \boxed{x = \frac{{22}}{5}}$ . Έτσι και λόγω της $\left( 1 \right)$ :

$\boxed{\cot \theta = \cot \omega = \frac{{AT}}{{AE}} = \frac{x}{4} = \frac{{11}}{{10}}}$

Γιώργος Μήτσιος · #8

Χαιρετώ και πάλι. Μια ακόμη με χρήση και των εμβαδών

: Ωρα συνεφαπτομένης ΙΙ.PNG (6.83 KiB) Προβλήθηκε 1820 φορές

Με Π.Θ παίρνουμε $BD^{2}=68...CE^{2}=52$ .Είναι $\left ( BCDE \right )=24-4=20$ αλλά και $BD\cdot CE\cdot sin\theta =2\left ( BCDE \right )$ .

Τότε $sin^{2}\theta =\dfrac{4\left ( BCDE \right )^{2}}{BD^{2}\cdot CE^{2}}=..=\dfrac{100}{221}$ συνεπώς $\dfrac{1}{1+cot^{2}\theta }=sin^{2}\theta =\dfrac{100}{221}\Rightarrow ...cot\theta =\dfrac{11}{10}$ αφού $\theta < 90^\circ$ .

Φιλικά, Γιώργος.

#9

Άλλη μία (εντός φακέλου αυτή τη φορά).

Η

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο

και έστω

η προβολή του

στην

Θέτω

και με Πυθαγόρειο βρίσκω $BD=2\sqrt{17}$ και $CE=2\sqrt{13}.$

: Ώρα συνεφαπτομένης 4β.png (12.82 KiB) Προβλήθηκε 1805 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} SP||AC \Leftrightarrow \dfrac{{SP}}{6} = \dfrac{x}{4}\\ \\ SP||AD \Leftrightarrow \dfrac{{SP}}{2} = \dfrac{{4 + x}}{8} \end{array} \right. \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{{2x}}{{x + 4}} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=\frac{4}{5}}$ και $\displaystyle \frac{{CS}}{{CE}} = \frac{{4 - x}}{4} \Leftrightarrow$ $\boxed{CS = \frac{{8\sqrt {13} }}{5}}$

Από την ομοιότητα των τριγώνων CHD, BAD

παίρνω, $\displaystyle \frac{{CH}}{8} = \frac{4}{{2\sqrt {17} }} \Leftrightarrow$ $\boxed{CH = \frac{{16}}{{\sqrt {17} }}}$ και με Π. Θ $\boxed{HS = \frac{{88}}{{5\sqrt {17} }}}$ απ' όπου $\boxed{\tan \theta = \frac{{CH}}{{HS}} = \frac{{10}}{{11}}}$ (Μέχρι εδώ ξέρουν οι Juniors - Θαλή Ευκλείδη).

Ιστοσελίδα · #10

KARKAR έγραψε: Δευ Φεβ 10, 2020 10:17 pm $\bigstar$ Στο επισυναπτόμενο σχήμα , υπολογίστε την : $\cot\theta$

Καλημέρα!

: shape.png (14.16 KiB) Προβλήθηκε 1771 φορές

Με $CT \bot BD$ ο Μενέλαος ( $\triangleleft BDA,\,\overline {CSE}$ ) και η ομοιότητα ( $\triangleleft BDA, \triangleleft CDT$ ) δίνουν το παραπάνω σχήμα.

Από Π.Θ. παίρνουμε $(k,m) = \left( {\dfrac{{4\sqrt {17} }}{7},\,\dfrac{{2\sqrt {17} }}{5}} \right)$

Έτσι, $\cot \theta = \dfrac{{k + 2m}}{{4k}} = \ldots = \dfrac{{11}}{{10}}$

Ώρα συνεφαπτομένης 4

Ώρα συνεφαπτομένης 4

Re: Ώρα συνεφαπτομένης 4

Re: Ώρα συνεφαπτομένης 4

Re: Ώρα συνεφαπτομένης 4

Re: Ώρα συνεφαπτομένης 4

Re: Ώρα συνεφαπτομένης 4

Re: Ώρα συνεφαπτομένης 4

Re: Ώρα συνεφαπτομένης 4

Re: Ώρα συνεφαπτομένης 4

Re: Ώρα συνεφαπτομένης 4

Μέλη σε σύνδεση