Ώρα μεγίστου συνημιτόνου

KARKAR · #1

: Ώρα μεγίστου συνημιτόνου.png (9.03 KiB) Προβλήθηκε 960 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, είναι :

. Από το μέσο της

της

,

φέρω $MD \perp AB$ . Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του $\cos\theta , (\theta=\widehat{BMD} )$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 17, 2020 9:22 pm
Ώρα μεγίστου συνημιτόνου.pngΣτο τρίγωνο , είναι : . Από το μέσο της της ,

φέρω $MD \perp AB$ . Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του $\cos\theta , (\theta=\widehat{BMD} )$ .

: Ωρα μεγίστου συνημιτόνου.png (14.19 KiB) Προβλήθηκε 935 φορές

Ας είναι : $BM = m\,\,,\,\,MD = d\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,BC = x\,\,,\,\,\,x \in (0,13)$

Είναι ( Θ διαμέσων ) ${m^2} = \dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{{23}}{4}\,\,\left( 1 \right)$

Το εμβαδόν του τριγώνου ABC

από το τύπο του Ήρωνα είναι :

$E = \dfrac{{\sqrt {\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{{13}^2} - {x^2}} \right)} }}{4}\,\,\,\left( 2 \right)$

Όμως $E = \dfrac{1}{2}AB \cdot 2DM = 6d\,\,\left( 3 \right)$ και άρα $d = \dfrac{{\sqrt {\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{{13}^2} - {x^2}} \right)} }}{{24}}\,\,\,\,\left( 4 \right)$

Θεωρώ τη συνάρτηση $f:\left( {0,13} \right) \to \mathbb{R}$ με $\dfrac{{{d^2}}}{{{m^2}}} = f(x) = \dfrac{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{{13}^2} - {x^2}} \right)}}{{144\left( {2{x^2} + 23} \right)}}$

Παρουσιάζει μέγιστο στο ${x_0} = 6$ το $\dfrac{{49}}{{144}}$ και άρα $\boxed{{{\left( {\cos \theta } \right)}_{\max }} = \frac{7}{{12}}}$

Το τρίγωνο τότε είναι ισοσκελές με κορυφή το

.

#3

: Ωρα μεγίστου συνημιτόνου_oritzin.png (19.52 KiB) Προβλήθηκε 920 φορές

Ας είναι $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ τα μέσα των $BM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ και

η προβολή του

στη

.

Θέτω $LT = d \leqslant KL = \dfrac{{MC}}{2} = \dfrac{7}{4}$ , ενώ $ML = \dfrac{{AB}}{2} = 3$ .

Επειδή $\widehat {MBA} = \widehat {BML}$ θα είναι ίσα και τα συμπληρώματα τους : δηλαδή $\widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\theta _{}}}$ .

$\boxed{\cos \theta = \cos \omega = \dfrac{d}{3} \leqslant \dfrac{{KL}}{3} = \dfrac{{\dfrac{7}{4}}}{3} = \dfrac{7}{{12}}}$ και άρα $\boxed{{{\left( {\cos \theta } \right)}_{\max }} = \dfrac{7}{{12}}}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 17, 2020 9:22 pm
Ώρα μεγίστου συνημιτόνου.pngΣτο τρίγωνο , είναι : . Από το μέσο της της ,

φέρω $MD \perp AB$ . Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του $\cos\theta , (\theta=\widehat{BMD} )$ .

: Μεγ-συν.png (9.16 KiB) Προβλήθηκε 888 φορές

Κριτήριο καθετότητας: $B{M^2} - A{M^2} = B{D^2} - D{A^2} \Leftrightarrow B{M^2} = \dfrac{{49}}{4} + 6(2x - 6)$

απ΄όπου $\displaystyle B{M^2} = \frac{{48x - 95}}{4}$ και με Πυθαγόρειο $\displaystyle D{M^2} = \frac{{ - 4{x^2} + 48x - 95}}{4}, 0<x<6$

$\boxed{{\cos ^2}\theta = \frac{{D{M^2}}}{{B{M^2}}} = - \frac{{4{x^2}}}{{48x - 95}} + 1}$ Θεωρώ τη συνάρτηση $\displaystyle f(x) = \frac{{4{x^2}}}{{48x - 95}},0 < x < 6$

Αλλά, $\displaystyle {\left( {x - \frac{{95}}{{24}}} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} - 12x\frac{{95}}{{144}} + \frac{{{{95}^2}}}{{4 \cdot 144}} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{4{x^2}}}{{48x - 95}} \ge \frac{{95}}{{144}} \Leftrightarrow f(x) \ge \frac{{95}}{{144}},$

Άρα, $\displaystyle {\cos ^2}\theta = 1 - f(x) \le 1 - \frac{{95}}{{144}} = {\left( {\frac{7}{{12}}} \right)^2} \Rightarrow$ $\boxed{{(\cos \theta )_{\max }} = \frac{7}{{12}}}$ για $\boxed{ x = \frac{{95}}{{24}}}$

Για αυτή την τιμή του

βρίσκω $\displaystyle B{M^2} = \frac{{95}}{4}$ και $\boxed{BC=6}$

Altrian · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 17, 2020 9:22 pm
Ώρα μεγίστου συνημιτόνου.pngΣτο τρίγωνο , είναι : . Από το μέσο της της ,

φέρω $MD \perp AB$ . Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του $\cos\theta , (\theta=\widehat{BMD} )$ .

Καλησπέρα,

$cos\theta=sin\phi=\dfrac{AF}{AB}\leqslant \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{3.5}{6}=\dfrac{7}{12}\Rightarrow max(cos\theta)=\dfrac{7}{12}$

#6

Altrian έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 18, 2020 1:03 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 17, 2020 9:22 pm
Ώρα μεγίστου συνημιτόνου.pngΣτο τρίγωνο , είναι : . Από το μέσο της της ,

φέρω $MD \perp AB$ . Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του $\cos\theta , (\theta=\widehat{BMD} )$ .
Καλησπέρα,

$cos\theta=sin\phi=\dfrac{AF}{AB}\leqslant \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{3.5}{6}=\dfrac{7}{12}\Rightarrow max(cos\theta)=\dfrac{7}{12}$

KARKAR · #7

Χεχε !

...όταν : $BM \perp AC$ ( ή BC=AB=6 )

#8

Altrian έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 18, 2020 1:03 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 17, 2020 9:22 pm
Ώρα μεγίστου συνημιτόνου.pngΣτο τρίγωνο , είναι : . Από το μέσο της της ,

φέρω $MD \perp AB$ . Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του $\cos\theta , (\theta=\widehat{BMD} )$ .
Καλησπέρα,

$cos\theta=sin\phi=\dfrac{AF}{AB}\leqslant \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{3.5}{6}=\dfrac{7}{12}\Rightarrow max(cos\theta)=\dfrac{7}{12}$

Με ιδιαίτερη χαρά βλέπω μετά απο πολύ καιρό τον Αλέξανδρο στο και μάλιστα με μια αξιοθαύμαστη λύση

Ώρα μεγίστου συνημιτόνου

Ώρα μεγίστου συνημιτόνου

Re: Ώρα μεγίστου συνημιτόνου

Re: Ώρα μεγίστου συνημιτόνου

Re: Ώρα μεγίστου συνημιτόνου

Re: Ώρα μεγίστου συνημιτόνου

Re: Ώρα μεγίστου συνημιτόνου

Re: Ώρα μεγίστου συνημιτόνου

Re: Ώρα μεγίστου συνημιτόνου

Μέλη σε σύνδεση