Διάμεσος πάντα

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7202
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Διάμεσος πάντα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιουν 28, 2020 1:12 pm

Πάντα διάμεσος.png
Πάντα διάμεσος.png (9.24 KiB) Προβλήθηκε 384 φορές
Δίδεται ευθύγραμμο τμήμα BC = a.

Γράφω το κύκλο \left( {B,3a} \right) και έστω τυχαίο του σημείο A ( Τα A,B,C όχι συνευθειακά )

Αν BD διχοτόμος του \vartriangle ABC και η κάθετος στηνDA στο D τμήσει την AB στο M, δείξετε ότι το M είναι μέσο του AB.

24 ώρες για τους μαθητές ( Μικροί μεν, Μεγάλα «σαΐνια» δε )



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1617
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Διάμεσος πάντα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Ιουν 28, 2020 2:00 pm

Doloros έγραψε:
Κυρ Ιουν 28, 2020 1:12 pm
Πάντα διάμεσος.png
Δίδεται ευθύγραμμο τμήμα BC = a.

Γράφω το κύκλο \left( {B,3a} \right) και έστω τυχαίο του σημείο A ( Τα A,B,C όχι συνευθειακά )

Αν BD διχοτόμος του \vartriangle ABC και η κάθετος στηνDA στο D τμήσει την AB στο M, δείξετε ότι το M είναι μέσο του AB.

24 ώρες για τους μαθητές ( Μικροί μεν, Μεγάλα «σαΐνια» δε )
Γεια σας κ.Νίκο! Καλό καλοκαίρι! :)

Έστω ότι η MD τέμνει την BC στο K. Στο \vartriangle MBK η BD είναι και ύψος και διχοτόμος, άρα BM=BK.

Από το Θ.Μενελάου στο \vartriangle ABC με διατέμνουσα την \overline{MDK} προκύπτει ότι \dfrac{MB}{MA} \cdot \dfrac{DA}{DC} \cdot \dfrac{KC}{KB}=1, ή αλλιώς \dfrac{DA}{DC}=\dfrac{MA}{KC}.

Από το Θ.Διχοτόμου στο \vartriangle ABC είναι \dfrac{DA}{DC}=\dfrac{BA}{BC}=3, οπότε η προηγούμενη σχέση δίνει MA=3KC.
Όμως, MA=3KC=3(BK-BC)=3(BM-BC)=3(BA-AM-BC)=3(2a-AM) \Rightarrow MA=6a-3AM \Rightarrow MA=3a/2=AB/2, οπότε το M είναι το μέσον της AB.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 47
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 10, 2019 9:20 am

Re: Διάμεσος πάντα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ » Κυρ Ιουν 28, 2020 2:10 pm

Doloros έγραψε:
Κυρ Ιουν 28, 2020 1:12 pm
Πάντα διάμεσος.png

Δίδεται ευθύγραμμο τμήμα BC = a.

Γράφω το κύκλο \left( {B,3a} \right) και έστω τυχαίο του σημείο A ( Τα A,B,C όχι συνευθειακά )

Αν BD διχοτόμος του \vartriangle ABC και η κάθετος στηνDA στο D τμήσει την AB στο M, δείξετε ότι το M είναι μέσο του AB.

24 ώρες για τους μαθητές ( Μικροί μεν, Μεγάλα «σαΐνια» δε )
Καλησπέρα σας κ.Νίκο.

Ας είναι T η προβολή του C πάνω στην BD. Έστω επίσης ότι η προέκταση της TC
ως προς το T τέμνει την AB στο E.Τότε από γνωστό πρόβλημα είναι:
\frac{BT}{TD}=\frac{AB+BC}{AB-BC}=\frac{4a}{2a}=2
Επίσης το τρίγωνο BCE είναι ισοσκελές με BE=BC=a.Ακόμη ET//MD, άρα από το θεώρημα του Θαλή έχω:

\frac{BT}{TD}=\frac{BE}{EM}=2\Rightarrow EM=\frac{BE}{2}=\frac{a}{2}
Επομένως BM=\frac{3a}{2} και το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9351
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διάμεσος πάντα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιουν 29, 2020 9:01 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε:
Κυρ Ιουν 28, 2020 2:10 pm
Doloros έγραψε:
Κυρ Ιουν 28, 2020 1:12 pm
Πάντα διάμεσος.png

Δίδεται ευθύγραμμο τμήμα BC = a.

Γράφω το κύκλο \left( {B,3a} \right) και έστω τυχαίο του σημείο A ( Τα A,B,C όχι συνευθειακά )

Αν BD διχοτόμος του \vartriangle ABC και η κάθετος στηνDA στο D τμήσει την AB στο M, δείξετε ότι το M είναι μέσο του AB.

24 ώρες για τους μαθητές ( Μικροί μεν, Μεγάλα «σαΐνια» δε )
Καλησπέρα σας κ.Νίκο.

Ας είναι T η προβολή του C πάνω στην BD. Έστω επίσης ότι η προέκταση της TC
ως προς το T τέμνει την AB στο E.Τότε από γνωστό πρόβλημα είναι:
\frac{BT}{TD}=\frac{AB+BC}{AB-BC}=\frac{4a}{2a}=2 ...
Μάλλον χρειάζεται απόδειξη αυτό.


p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1074
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Διάμεσος πάντα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Δευ Ιουν 29, 2020 1:11 pm

δια μέσου.png
δια μέσου.png (40.9 KiB) Προβλήθηκε 276 φορές

Θεωρώ σημείο  H επί της BA έτσι ώστε BC=BH=a.

Τότε BD διχοτόμος της γωνίας B του ισοσκελούς άρα και ύψος, συνεπώς CH//MD \rightarrow DC:DA=MH:MA

Από θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου BC:BA=DC:DA=MH:MA=1:3

Συνεπώς AH =2/3 AB=2a  \rightarrow MH=1/4 AH=1/4 \cdot 2a=a/2

Επομένως BM=BH+HM=a+a/2=3a/2 άρα MB=MA


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 47
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 10, 2019 9:20 am

Re: Διάμεσος πάντα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ » Δευ Ιουν 29, 2020 1:18 pm

Παραθέτω πρώτα το λήμμα και ύστερα θα γραψω και την απόδειξή του.

ΛΗΜΜΑ

Έστω σκαληνό τριγωνο ABC , με AC>ABκαι ας είναι AD η διχοτόμος της γωνίας \angle{A}.
Έστω επίσης E η προβολή του B πάνω στην AD. Τότε ισχύει ότι

\frac{AE}{ED}=\frac{AC+AB}{AC-AB}
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ σε Δευ Ιουν 29, 2020 5:10 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9351
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διάμεσος πάντα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιουν 29, 2020 2:08 pm

Έστω N το μέσο του BM. Εύκολα προκύπτει ότι NT||BC
Διάμεσος πάντα.png
Διάμεσος πάντα.png (11.62 KiB) Προβλήθηκε 254 φορές
\displaystyle \frac{{AN}}{{3a}} = \frac{{NT}}{a} \Leftrightarrow \frac{{AN}}{{MB/2}} = 3 \Leftrightarrow 2AN = 3MB και το ζητούμενο έπεται.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1829
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Διάμεσος πάντα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Ιουν 29, 2020 3:16 pm

Doloros έγραψε:
Κυρ Ιουν 28, 2020 1:12 pm
Πάντα διάμεσος.png

Δίδεται ευθύγραμμο τμήμα BC = a.

Γράφω το κύκλο \left( {B,3a} \right) και έστω τυχαίο του σημείο A ( Τα A,B,C όχι συνευθειακά )

Αν BD διχοτόμος του \vartriangle ABC και η κάθετος στηνDA στο D τμήσει την AB στο M, δείξετε ότι το M είναι μέσο του AB.

24 ώρες για τους μαθητές ( Μικροί μεν, Μεγάλα «σαΐνια» δε )

Για κάθε σημείο A του κύκλου (B,3a) που δεν ανήκει στην BCAZ τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου BZ=3a στο E

Με O μέσον του BZ η OD \bot BE προφανώς διέρχεται πάντα από το μέσον της AB και BD διχοτόμος της γωνίας CBA

Επειδή ο Μενέλαος δίνει \dfrac{ZC}{CB}  .  \dfrac{DB}{DE} .  \dfrac{AE}{AZ}=2 . 1 .  \dfrac{1}{2}=1 \Rightarrow A,D,C συνευθειακά
διάμεσος πάντα.png
διάμεσος πάντα.png (33.91 KiB) Προβλήθηκε 239 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7202
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διάμεσος πάντα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιουν 30, 2020 10:02 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε:
Δευ Ιουν 29, 2020 1:18 pm
Παραθέτω πρώτα το λήμμα και ύστερα θα γραψω και την απόδειξή του.

ΛΗΜΜΑ

Έστω σκαληνό τριγωνο ABC , με AC>ABκαι ας είναι AD η διχοτόμος της γωνίας \angle{A}.
Έστω επίσης E η προβολή του B πάνω στην AD. Τότε ισχύει ότι

\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{AC+AB}{AC-AB}
Ας δούμε μια λύση του λήμματος του Δημήτρη για να μην υπάρχει κανενός είδους "χάσμα" στις όμορφες λύσεις όλων σας .
Πάντα διαάμεσος λήμμα.png
Πάντα διαάμεσος λήμμα.png (16.19 KiB) Προβλήθηκε 192 φορές


Αν η ευθεία BE τμήσει την AC στο Z, το τρίγωνο ABZ είναι ισοσκελές γιατί η διχοτόμος του AEείναι και ύψος;.

Έτσι θα είναι: AZ = AB = c\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZC = AC - AZ = b - c.

Από το Θ. διχοτόμου ισχύει : \dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{c}{b} \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{BD + DC}} = \dfrac{c}{{b + c}} \Rightarrow \dfrac{{DB}}{{BC}} = \dfrac{c}{{b + c}}\,\,\,\left( 1 \right)


Από Θ. Μενέλαου στο \vartriangle ADC με διατέμνουσα \overline {BEZ} ισχύει :

\dfrac{{AE}}{{ED}} \cdot \dfrac{{DB}}{{BC}} \cdot \dfrac{{CZ}}{{ZA}} = 1 , οπότε και λόγω της \left( 1 \right) γίνεται :

\dfrac{{AE}}{{ED}} \cdot \dfrac{c}{{b + c}} \cdot \dfrac{{b - c}}{c} = 1 \Leftrightarrow \boxed{\dfrac{{AE}}{{ED}} = \dfrac{{b + c}}{{b - c}}}.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9351
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διάμεσος πάντα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιουν 30, 2020 10:25 am

Αλλιώς για το Λήμμα. Έστω M το μέσο του ZC.
Λήμμα ΦΑ.png
Λήμμα ΦΑ.png (12.98 KiB) Προβλήθηκε 183 φορές
\displaystyle \frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{EM}}{{DC}} = \frac{a}{{2DC}} \Leftrightarrow \frac{{AE}}{{ED}} = \frac{a}{{2DC - a}} = \dfrac{a}{{2\dfrac{{ab}}{{b + c}} - a}} \Leftrightarrow \boxed{\frac{{AE}}{{ED}} = \frac{{b + c}}{{b - c}}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7202
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διάμεσος πάντα

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιουν 30, 2020 11:03 am

Ας δούμε μια ακόμη λύση του λήμματος αυτύ
Πάντα διαάμεσος λήμμα_new.png
Πάντα διαάμεσος λήμμα_new.png (13.28 KiB) Προβλήθηκε 166 φορές
Φέρνω την εξωτερική διχοτόμο AS του \vartriangle ABC.

Επειδή SA/BE ( σαν κάθετες στην AD) θα ισχύει :

\boxed{\dfrac{{AE}}{{ED}} = \dfrac{{SB}}{{BD}} = \dfrac{{\dfrac{{ac}}{{b - c}}}}{{\dfrac{{ac}}{{b + c}}}} = \dfrac{{b + c}}{{b - c}}}


p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1074
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Διάμεσος πάντα

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Τρί Ιουν 30, 2020 4:31 pm

Λήμμα.png
Λήμμα.png (28.54 KiB) Προβλήθηκε 135 φορές

Άλλη μια προσέγγιση του λήμματος

BB’//AD//ZZ’ τότε AB=AB'=AZ=c και επειδή BE=EZ \rightarrow BD=DZ’

AE : ED=(2AE) : (2ED) =BB’ : ZZ’ =CB’ : CZ = (b+c) : (b-c)


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7202
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διάμεσος πάντα

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιούλ 02, 2020 7:43 pm

Ας είναι BE η εξωτερική διχοτόμος του \vartriangle ABC. Επειδή : EB\, \bot BD\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MD \bot BD θα είναι : EB//DM\,\,\left( 1 \right).

Τα σημεία D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E είναι αρμονικά συζυγή των C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A .

Αν θέσω : DC = k \Rightarrow DA = 3k και έστω : EC = x.
Διάμεσος πάντα λύση.png
Διάμεσος πάντα λύση.png (17.52 KiB) Προβλήθηκε 86 φορές
Από την αρμονική αναλογία: \dfrac{{CE}}{{CD}} = \dfrac{{AE}}{{AD}} \Rightarrow \dfrac{x}{k} = \dfrac{{4k + x}}{{3k}} \Rightarrow 3x = 4k + x \Rightarrow \boxed{x = 2k}

Έτσι θα είναι: ED = DA = 3k και λόγω της \left( 1 \right) αναγκαστικά το M θα είναι μέσο του AB.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης