Τριχοτόμοι

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12745
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τριχοτόμοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Φεβ 17, 2021 1:55 pm

Τριχοτόμοι.png
Τριχοτόμοι.png (15.54 KiB) Προβλήθηκε 419 φορές
Στο τρίγωνο ABC είναι \hat{B}=3\theta και \hat{C}=2\theta . Οι δύο τριχοτόμοι της \hat{B} , τέμνουν τη διχοτόμο της \hat{C}

στα σημεία  S , T . Δείξτε ότι \widehat{BAS}=\widehat{CAT} και συγκρίνατε τις \widehat{BAS}  ,\widehat{SAT} , για τις διάφορες τιμές

της γωνίας \theta , (0^0 < \theta < 36^0) .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4105
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Τριχοτόμοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Φεβ 24, 2021 8:17 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 17, 2021 1:55 pm
Τριχοτόμοι.pngΣτο τρίγωνο ABC είναι \hat{B}=3\theta και \hat{C}=2\theta . Οι δύο τριχοτόμοι της \hat{B} , τέμνουν τη διχοτόμο της \hat{C}

στα σημεία  S , T . Δείξτε ότι \widehat{BAS}=\widehat{CAT} και συγκρίνατε τις \widehat{BAS}  ,\widehat{SAT} , για τις διάφορες τιμές

της γωνίας \theta , (0^0 < \theta < 36^0) .
Isogonic Jacobi theorem 😀


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 205
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Τριχοτόμοι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Πέμ Φεβ 25, 2021 11:13 pm

Ας είναι E η τομή της AC με την προέκταση της BS
και D η τομή της AC με την προέκταση της BT.
Γράφω τον κύκλο (T,TC), τον περιγεγραμμένο κύκλο του \triangle ABC,
φέρω την ET και προεκτείνω. (...τα υπόλοιπα όπως στο σχήμα)

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
&  
\left. 
\begin{aligned} 
&\triangle BST = \triangle TDC \rightarrow ST=TD \cr 
& EBC \ isoskeles\ and\ ST=TD \rightarrow SE=ED \cr 
& ET \ common\cr 
\end{aligned} 
\right\} \rightarrow \triangle EST = \triangle EDT 
\end{aligned} 
}

τότε η EH είναι διχοτόμος του ισοσκελούς EBC άρα διάμεσος και διχοτόμος
και επομένως η LM είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του \triangle ABC.

Επειδή τώρα \overset{\frown}{BNA} = \overset{\frown}{CUR}=4\theta
και η διάμετρος ML τέμνει κάθετα την χορδή BC έχει άμεση συνέπεια ότι
AR \parallel BC και ότι η ML διχοτομεί τα τόξα \overset{\frown}{AR}, \overset{\frown}{BC}.

Εκ τούτου οι "ανοικτό πράσινες" γωνίες είναι ίσες από το οποίο
εύκολα συνεπάγεται ότι \triangle BTF= \triangle CTG και BF = GC
οπότε \angle BAF = \angle GAC.

Τέλος (χωρίς απόδειξη)
  • Αν A εκτός του περιγεγραμμένου κύκλου του \triangle ABC τότε \angle BAS > \angle SAT.
  • Αν A επί του περιγεγραμμένου κύκλου του \triangle ABC τότε \angle BAS = \angle SAT.
  • Αν A εντός του περιγεγραμμένου κύκλου του \triangle ABC τότε \angle BAS < \angle SAT.
Συνημμένα
rsz_trixotomies.png
rsz_trixotomies.png (105.69 KiB) Προβλήθηκε 254 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2103
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τριχοτόμοι

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Φεβ 26, 2021 1:45 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 17, 2021 1:55 pm
Τριχοτόμοι.pngΣτο τρίγωνο ABC είναι \hat{B}=3\theta και \hat{C}=2\theta . Οι δύο τριχοτόμοι της \hat{B} , τέμνουν τη διχοτόμο της \hat{C}

στα σημεία  S , T . Δείξτε ότι \widehat{BAS}=\widehat{CAT} και συγκρίνατε τις \widehat{BAS}  ,\widehat{SAT} , για τις διάφορες τιμές

της γωνίας \theta , (0^0 < \theta < 36^0) .

Το πρώτο ερώτημα προς το παρόν

Έστω ότι ο κύκλος (A,S,B) τέμνει την CS στο E

Λόγω ισότητας των γωνιών ίδιου χρώματος,τα ισοσκελή τρίγωνα BTC,EAC είναι όμοια,όπως επίσης τα ASB,EBC

Έτσι, \dfrac{TC}{AC}= \dfrac{BC}{EC} και \dfrac{BC}{EC}=\dfrac{BS}{AB} απ όπου \dfrac{TC}{AC} = \dfrac{BS}{AB}

Έτσι,τα τρίγωνα ABS,ATC είναι όμοια,άρα  \angle x= \angle y
τριχοτόμοι.png
τριχοτόμοι.png (46.74 KiB) Προβλήθηκε 241 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης