Τρίγωνο-135.
Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis
-
- Δημοσιεύσεις: 1419
- Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13276
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Τρίγωνο-135.
Δίνω μία τριγωνομετρική λύση.
Η τέμνει την στο Προφανώς και
Με νόμο ημιτόνων στα και νόμο συνημιτόνων στο έχω διαδοχικά: και
άρα τα τρίγωνα είναι όμοια,
οπότε
Η τέμνει την στο Προφανώς και
Με νόμο ημιτόνων στα και νόμο συνημιτόνων στο έχω διαδοχικά: και
άρα τα τρίγωνα είναι όμοια,
οπότε
Re: Τρίγωνο-135.
Πρώτα-πρώτα ένα λήμμα ( εύκολη γεωμετρική απόδειξη)
Αν σε θεωρήσω στην σημείο για το οποίο τότε .
Στην άσκηση τώρα .
Θεωρώ το ισόπλευρο τρίγωνο και φέρνω από το παράλληλη στην και τέμνει την στο .
Η ευθεία τέμνει την στο και την στο .
Τα τετράπλευρα: ισοσκελή τραπέζια.
και άρα το ,
αναγκαστικά οι γωνίες ( κίτρινες ) είναι από 10° και άρα :
Αν σε θεωρήσω στην σημείο για το οποίο τότε .
Στην άσκηση τώρα .
Θεωρώ το ισόπλευρο τρίγωνο και φέρνω από το παράλληλη στην και τέμνει την στο .
Η ευθεία τέμνει την στο και την στο .
Τα τετράπλευρα: ισοσκελή τραπέζια.
και άρα το ,
αναγκαστικά οι γωνίες ( κίτρινες ) είναι από 10° και άρα :
-
- Δημοσιεύσεις: 1419
- Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm
Re: Τρίγωνο-135.
Κατ΄ αρχήν να ευχαριστήσω τον Γιώργο και τον Νίκο που τίμησαν το θέμα με τις λύσεις τους.
Ένα δύσκολο θέμα (σκέφτομαι να παρατήσω τη Γεωμετρία).
Θεωρώ το συμμετρικό του ως προς την το οποίο ονομάζω
και με πλευρά την κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο .
Επίσης φέρνω όλα τα κόκκινα τμήματα στο σχήμα.
Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και το σημείο το περίκεντρο
του τριγώνου (αφού ).
Σημειώνω στο σχήμα τα τμήματα που είναι ίσα με το και
τις κόκκινες γωνίες .
Παρατηρώ ότι το είναι εγγράψιμο και επειδή
έπεται ότι αυτό είναι ισοσκελές τραπέζιο.
Άρα .
Συνεπώς τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Οπότε .
Επομένως .
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Τρίγωνο-135.
Με συμμετρικό του ως προς , το τρίγωνο είναι ισόπλευρο ,άρα ,συνεπώς
Επειδή και κι έστω ότι ο κύκλος τέμνει την στο
Τότε άρα και ,συνεπώς
Επειδή το είναι ισόπλευρο έχουμε,.Επίσης,
και ’
Έτσι, οπότε εγγράψιμμο και
(Τώρα μόλις είδα τη λύση του Φάνη )
-
- Δημοσιεύσεις: 292
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Τρίγωνο-135.
Καλησπέρα σας. Επιτρέψτε μου την πρώτη (κι ελπίζω μοναδική) δημόσια παρέμβαση σχετικά με τη μορφή των αναρτήσεων μας στο
Οι αναρτήσεις μας όταν περιέχουν πρόταση λύσης ενός θέματος φροντίζουμε να είναι όσο γίνεται πλήρης: Εξηγούμε ποια θεωρήματα εφαρμόζουμε και δεν αφήνουμε κενά στη λύση μας, όπως π.χ. το παραπάνω "συνεπάγεται", που κρύβει πολλή ανιαρή δουλειά. Έτσι φαίνεται η λύση μαγική, μιας γραμμής, υπέρτερη των άλλων, δίχως να είναι. Καλό είναι (απαραίτητο θα έλεγα) να συνοδεύεται και από σχήμα.
Αν κάποιος βαριέται να γράψει τα "ενδιάμεσα" βήματα, απλώς ας μην δώσει απάντηση. Σε όλους μας συμβαίνει συχνότατα αυτό.
Επίσης, το ΔΕΝ είναι χώρος κοινωνικής συνεύρεσης, όπου ασταμάτητα επαινούμε με λόγια η συμβολάκια κάθε λύση ή σχολιάζουμε στο δεκάλεπτο, πόσο εύκολο είναι το θέμα που τέθηκε ή για προσωπική συζήτηση και ανταλλαγή απόψεων, που όμως είναι ορατή (και κουραστική) σε όλους. Έχουμε τα π.μ. που συνήθως χρησιμοποιούμε. Βεβαίως, ΣΕ ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΕΣ περιπτώσεις θα χειροκροτήσουμε μια πρωτότυπη ιδέα, αλλά κυρίως, αναρτάμε πλήρεις και ολοκληρωμένες λύσεις, κι όχι απλές υποδείξεις επίδειξης ταχύτητας και γνώσεων. Μια περιήγηση σε παλαιότερες συζητήσεις θα επιβεβαιώσει τα παραπάνω.
Υ.Γ. Όσον αφορά τη συμβατότητα των λύσεων μας με τους αντίστοιχους φακέλους, γνώμη μου είναι ότι δεν είναι το σημαντικότερο στοιχείο που θα εμποδίσει μια ενδιαφέρουσα "εκτός ύλης" προσέγγιση. Πρώτος εγώ το καταπατώ διαρκώς, αναφέροντας πάντα, ότι η λύση δίνεται εκτός φακέλου για την πληρότητα και επέκταση της σχετικής συζήτησης.
-
- Δημοσιεύσεις: 292
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am
Re: Τρίγωνο-135.
Καλησπέρα σας. Επιτρέψτε μου την πρώτη (κι ελπίζω μοναδική) δημόσια παρέμβαση σχετικά με τη μορφή των αναρτήσεων μας στο
Οι αναρτήσεις μας όταν περιέχουν πρόταση λύσης ενός θέματος φροντίζουμε να είναι όσο γίνεται πλήρης: Εξηγούμε ποια θεωρήματα εφαρμόζουμε και δεν αφήνουμε κενά στη λύση μας, όπως π.χ. το παραπάνω "συνεπάγεται", που κρύβει πολλή ανιαρή δουλειά. Έτσι φαίνεται η λύση μαγική, μιας γραμμής, υπέρτερη των άλλων, δίχως να είναι. Καλό είναι (απαραίτητο θα έλεγα) να συνοδεύεται και από σχήμα.
Αν κάποιος βαριέται να γράψει τα "ενδιάμεσα" βήματα, απλώς ας μην δώσει απάντηση. Σε όλους μας συμβαίνει συχνότατα αυτό.
Επίσης, το ΔΕΝ είναι χώρος κοινωνικής συνεύρεσης, όπου ασταμάτητα επαινούμε με λόγια η συμβολάκια κάθε λύση ή σχολιάζουμε στο δεκάλεπτο, πόσο εύκολο είναι το θέμα που τέθηκε ή για προσωπική συζήτηση και ανταλλαγή απόψεων, που όμως είναι ορατή (και κουραστική) σε όλους. Έχουμε τα π.μ. που συνήθως χρησιμοποιούμε. Βεβαίως, ΣΕ ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΕΣ περιπτώσεις θα χειροκροτήσουμε μια πρωτότυπη ιδέα, αλλά κυρίως, αναρτάμε πλήρεις και ολοκληρωμένες λύσεις, κι όχι απλές υποδείξεις επίδειξης ταχύτητας και γνώσεων. Μια περιήγηση σε παλαιότερες συζητήσεις θα επιβεβαιώσει τα παραπάνω.
Υ.Γ. Όσον αφορά τη συμβατότητα των λύσεων μας με τους αντίστοιχους φακέλους, γνώμη μου είναι ότι δεν είναι το σημαντικότερο στοιχείο που θα εμποδίσει μια ενδιαφέρουσα "εκτός ύλης" προσέγγιση. Πρώτος εγώ το καταπατώ διαρκώς, αναφέροντας πάντα, ότι η λύση δίνεται εκτός φακέλου για την πληρότητα και επέκταση της σχετικής συζήτησης.
[/quote]
Αγαπητέ Γιώργο, δεν θέλω να κάνω και ποτέ δεν κάνω επίδειξη υψηλής ταχύτητας και γνώσης στη ζωή μου. Κατανοώ αυτά που λες και συμφωνώ απολύτως, αλλά υπάρχουν κάποιες λύσεις ,που τις χειροκροτώ επειδή είναι το κάτι άλλο. Στο βρίσκονται μερικοί από τους καλύτερους γεωμέτρες στην Ελλάδα, από τους οποίους μερικοί είναι από τους κορυφαίους της Ευρώπης(χωρίς καμία δόση υπερβολής) και είναι τιμή μας που τους έχουμε κοντά μας
Οι αναρτήσεις μας όταν περιέχουν πρόταση λύσης ενός θέματος φροντίζουμε να είναι όσο γίνεται πλήρης: Εξηγούμε ποια θεωρήματα εφαρμόζουμε και δεν αφήνουμε κενά στη λύση μας, όπως π.χ. το παραπάνω "συνεπάγεται", που κρύβει πολλή ανιαρή δουλειά. Έτσι φαίνεται η λύση μαγική, μιας γραμμής, υπέρτερη των άλλων, δίχως να είναι. Καλό είναι (απαραίτητο θα έλεγα) να συνοδεύεται και από σχήμα.
Αν κάποιος βαριέται να γράψει τα "ενδιάμεσα" βήματα, απλώς ας μην δώσει απάντηση. Σε όλους μας συμβαίνει συχνότατα αυτό.
Επίσης, το ΔΕΝ είναι χώρος κοινωνικής συνεύρεσης, όπου ασταμάτητα επαινούμε με λόγια η συμβολάκια κάθε λύση ή σχολιάζουμε στο δεκάλεπτο, πόσο εύκολο είναι το θέμα που τέθηκε ή για προσωπική συζήτηση και ανταλλαγή απόψεων, που όμως είναι ορατή (και κουραστική) σε όλους. Έχουμε τα π.μ. που συνήθως χρησιμοποιούμε. Βεβαίως, ΣΕ ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΕΣ περιπτώσεις θα χειροκροτήσουμε μια πρωτότυπη ιδέα, αλλά κυρίως, αναρτάμε πλήρεις και ολοκληρωμένες λύσεις, κι όχι απλές υποδείξεις επίδειξης ταχύτητας και γνώσεων. Μια περιήγηση σε παλαιότερες συζητήσεις θα επιβεβαιώσει τα παραπάνω.
Υ.Γ. Όσον αφορά τη συμβατότητα των λύσεων μας με τους αντίστοιχους φακέλους, γνώμη μου είναι ότι δεν είναι το σημαντικότερο στοιχείο που θα εμποδίσει μια ενδιαφέρουσα "εκτός ύλης" προσέγγιση. Πρώτος εγώ το καταπατώ διαρκώς, αναφέροντας πάντα, ότι η λύση δίνεται εκτός φακέλου για την πληρότητα και επέκταση της σχετικής συζήτησης.
[/quote]
Αγαπητέ Γιώργο, δεν θέλω να κάνω και ποτέ δεν κάνω επίδειξη υψηλής ταχύτητας και γνώσης στη ζωή μου. Κατανοώ αυτά που λες και συμφωνώ απολύτως, αλλά υπάρχουν κάποιες λύσεις ,που τις χειροκροτώ επειδή είναι το κάτι άλλο. Στο βρίσκονται μερικοί από τους καλύτερους γεωμέτρες στην Ελλάδα, από τους οποίους μερικοί είναι από τους κορυφαίους της Ευρώπης(χωρίς καμία δόση υπερβολής) και είναι τιμή μας που τους έχουμε κοντά μας
-
- Δημοσιεύσεις: 292
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am
Re: Τρίγωνο-135.
Εγώ όποτε δω φοβερή λύση που μας θαμπώνει από την ομορφιά, απλά υποκλίνομαι στην γεωμετρική ιδιοφυία του λύτη.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες