Τρίγωνο-135.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 107.png (9.52 KiB) Προβλήθηκε 909 φορές

Υπολογίστε τις μοίρες της γωνίας $\theta$ .

#2

Δίνω μία τριγωνομετρική λύση.

Η

τέμνει την

στο

Προφανώς $E\widehat DB=30^\circ$ και AE=EC=CB=a, EB=c-a.

Με νόμο ημιτόνων στα DEB, CDB

και νόμο συνημιτόνων στο CEB

έχω διαδοχικά:

: Τρίγωνο-135.png (16.92 KiB) Προβλήθηκε 833 φορές

$\boxed{BD = 2(c - a)\sin 80^\circ}$ $\boxed{BD = 2a\sin 20^\circ}$ και $\boxed{c = a\left( {1 + 2\cos 80^\circ } \right)}$

$\displaystyle B{D^2} = \left( {2(c - a)\sin 80^\circ } \right)\left( {2a\sin 20^\circ } \right) = 4a(c - a)\sin 80^\circ \sin 20^\circ$

$\displaystyle B{D^2} = 2a(c - a)\left( {\cos 60^\circ + \cos 80^\circ } \right) = a(c - a)(1 + 2\cos 80^\circ )$

$\displaystyle B{D^2} = c(c - a) \Leftrightarrow \frac{{c - a}}{{BD}} = \frac{{BD}}{c},$ άρα τα τρίγωνα ADB, DEB

είναι όμοια,

οπότε $\boxed{B\widehat ED=A\widehat DB=\theta=80^\circ}$

#3

Πρώτα-πρώτα ένα λήμμα ( εύκολη γεωμετρική απόδειξη)

Αν σε $\displaystyle \vartriangle CSB \to \left( {20^\circ ,80^\circ .80^\circ } \right)$ θεωρήσω στην $\displaystyle CS$ σημείο $\displaystyle D$ για το οποίο $\displaystyle \widehat {CBD} = 10^\circ$ τότε $\displaystyle \boxed{CD = SB}$ .

: Λήμμα gia 20 kai 10.png (41.8 KiB) Προβλήθηκε 786 φορές

Στην άσκηση τώρα .

Θεωρώ το ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle CAT$ και φέρνω από το $\displaystyle D$ παράλληλη στην $\displaystyle CA$ και τέμνει την $\displaystyle AB$ στο $\displaystyle E$ .

Η ευθεία $\displaystyle CD$ τέμνει την $\displaystyle AB$ στο $\displaystyle S$ και την $\displaystyle AT$ στο $\displaystyle Q$ .

: τρίγωνο 135.png (57.15 KiB) Προβλήθηκε 786 φορές

Τα τετράπλευρα: $\displaystyle AEDC\,\,,\,\,AQBC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EQBD$ ισοσκελή τραπέζια.

$\displaystyle CB = CS = SA$ και άρα το $\displaystyle \vartriangle CBE \to \left( {80^\circ ,50^\circ ,50^\circ } \right)$ ,

αναγκαστικά οι γωνίες $\displaystyle \theta$ ( κίτρινες ) είναι από 10° και άρα : $\displaystyle \boxed{\widehat {ADB} = 10^\circ + 40^\circ + 30^\circ = 80^\circ }$

Φανης Θεοφανιδης · #4

: 109.png (25.62 KiB) Προβλήθηκε 727 φορές

Κατ΄ αρχήν να ευχαριστήσω τον Γιώργο και τον Νίκο που τίμησαν το θέμα με τις λύσεις τους.
Ένα δύσκολο θέμα (σκέφτομαι να παρατήσω τη Γεωμετρία).

Θεωρώ το συμμετρικό του

ως προς την

το οποίο ονομάζω

και με πλευρά την

κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο CNP

.
Επίσης φέρνω όλα τα κόκκινα τμήματα στο σχήμα.
Το τρίγωνο NBD

είναι ισόπλευρο και το σημείο

το περίκεντρο
του τριγώνου CDN

(αφού $\angle CDN=150^{0}$ ).
Σημειώνω στο σχήμα τα τμήματα που είναι ίσα με το

και
τις κόκκινες γωνίες .
Παρατηρώ ότι το APCB

είναι εγγράψιμο και επειδή $AB\parallel PC$
έπεται ότι αυτό είναι ισοσκελές τραπέζιο.
Άρα AP=BC

.
Συνεπώς τα σημεία C, D, N, A

είναι ομοκυκλικά.
Οπότε $\angle ADN=\angle ACN\Rightarrow \angle ADN=20^{0}$ .
Επομένως $\theta =\angle ADB=80^{0}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 16, 2021 10:37 pm
107.png

Υπολογίστε τις μοίρες της γωνίας $\theta$ .

Με

συμμετρικό του

ως προς

, το τρίγωνο EDB

είναι ισόπλευρο ,άρα $\angle EBZ=10^0$ ,συνεπώς $\angle EZA=20^0$

Επειδή $\angle A= \angle ACZ$ και $\angle CZB=80^0 \Rightarrow AZ=ZC=CB$ κι έστω ότι ο κύκλος (C,a)

τέμνει την

στο

Τότε $\angle ZBH=20^0$ άρα ZE//BH

και $\angle EBH=10^0$ ,συνεπώς BZ=ZE=EH

Επειδή το $\triangle HBC$ είναι ισόπλευρο έχουμε, HB=BC=CZ=ZA

.Επίσης,

και $\angle EZA= \angle EHB=20^0$ ’

Έτσι, $\angle ZAE=10^0 \Rightarrow \angle EAC=30^0= \angle EDZ$ οπότε AEDC

εγγράψιμμο και

$\angle ADE= \angle ACE=20^0 \Rightarrow \angle ADB= \theta =80^0$

(Τώρα μόλις είδα τη λύση του Φάνη )

: Τρίγωνο 135.png (54.13 KiB) Προβλήθηκε 717 φορές

cool geometry · #6

#7

cool geometry έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 02, 2022 4:03 pm
$\boldsymbol{\frac{AB}{BD}=\frac{AB}{BC}\cdot \frac{BC}{BD}=\frac{\eta \mu 60^{0}}{\eta \mu 40^{0}}\cdot \frac{\eta \mu 30^{0}}{\eta \mu 20^{0}}=\frac{\eta \mu \vartheta }{\eta \mu \left ( \vartheta +70^{0} \right )}\Rightarrow \vartheta =80^{0}}$

Καλησπέρα σας. Επιτρέψτε μου την πρώτη (κι ελπίζω μοναδική) δημόσια παρέμβαση σχετικά με τη μορφή των αναρτήσεων μας στο

Οι αναρτήσεις μας όταν περιέχουν πρόταση λύσης ενός θέματος φροντίζουμε να είναι όσο γίνεται πλήρης: Εξηγούμε ποια θεωρήματα εφαρμόζουμε και δεν αφήνουμε κενά στη λύση μας, όπως π.χ. το παραπάνω "συνεπάγεται", που κρύβει πολλή ανιαρή δουλειά. Έτσι φαίνεται η λύση μαγική, μιας γραμμής, υπέρτερη των άλλων, δίχως να είναι. Καλό είναι (απαραίτητο θα έλεγα) να συνοδεύεται και από σχήμα.
Αν κάποιος βαριέται να γράψει τα "ενδιάμεσα" βήματα, απλώς ας μην δώσει απάντηση. Σε όλους μας συμβαίνει συχνότατα αυτό.

Επίσης, το

ΔΕΝ είναι χώρος κοινωνικής συνεύρεσης, όπου ασταμάτητα επαινούμε με λόγια η συμβολάκια κάθε λύση ή σχολιάζουμε στο δεκάλεπτο, πόσο εύκολο είναι το θέμα που τέθηκε ή για προσωπική συζήτηση και ανταλλαγή απόψεων, που όμως είναι ορατή (και κουραστική) σε όλους. Έχουμε τα π.μ. που συνήθως χρησιμοποιούμε. Βεβαίως, ΣΕ ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΕΣ περιπτώσεις θα χειροκροτήσουμε μια πρωτότυπη ιδέα, αλλά κυρίως, αναρτάμε πλήρεις και ολοκληρωμένες λύσεις, κι όχι απλές υποδείξεις επίδειξης ταχύτητας και γνώσεων. Μια περιήγηση σε παλαιότερες συζητήσεις θα επιβεβαιώσει τα παραπάνω.

Υ.Γ. Όσον αφορά τη συμβατότητα των λύσεων μας με τους αντίστοιχους φακέλους, γνώμη μου είναι ότι δεν είναι το σημαντικότερο στοιχείο που θα εμποδίσει μια ενδιαφέρουσα "εκτός ύλης" προσέγγιση. Πρώτος εγώ το καταπατώ διαρκώς, αναφέροντας πάντα, ότι η λύση δίνεται εκτός φακέλου για την πληρότητα και επέκταση της σχετικής συζήτησης.

cool geometry · #8

Καλησπέρα σας. Επιτρέψτε μου την πρώτη (κι ελπίζω μοναδική) δημόσια παρέμβαση σχετικά με τη μορφή των αναρτήσεων μας στο

Οι αναρτήσεις μας όταν περιέχουν πρόταση λύσης ενός θέματος φροντίζουμε να είναι όσο γίνεται πλήρης: Εξηγούμε ποια θεωρήματα εφαρμόζουμε και δεν αφήνουμε κενά στη λύση μας, όπως π.χ. το παραπάνω "συνεπάγεται", που κρύβει πολλή ανιαρή δουλειά. Έτσι φαίνεται η λύση μαγική, μιας γραμμής, υπέρτερη των άλλων, δίχως να είναι. Καλό είναι (απαραίτητο θα έλεγα) να συνοδεύεται και από σχήμα.
Αν κάποιος βαριέται να γράψει τα "ενδιάμεσα" βήματα, απλώς ας μην δώσει απάντηση. Σε όλους μας συμβαίνει συχνότατα αυτό.

Επίσης, το

ΔΕΝ είναι χώρος κοινωνικής συνεύρεσης, όπου ασταμάτητα επαινούμε με λόγια η συμβολάκια κάθε λύση ή σχολιάζουμε στο δεκάλεπτο, πόσο εύκολο είναι το θέμα που τέθηκε ή για προσωπική συζήτηση και ανταλλαγή απόψεων, που όμως είναι ορατή (και κουραστική) σε όλους. Έχουμε τα π.μ. που συνήθως χρησιμοποιούμε. Βεβαίως, ΣΕ ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΕΣ περιπτώσεις θα χειροκροτήσουμε μια πρωτότυπη ιδέα, αλλά κυρίως, αναρτάμε πλήρεις και ολοκληρωμένες λύσεις, κι όχι απλές υποδείξεις επίδειξης ταχύτητας και γνώσεων. Μια περιήγηση σε παλαιότερες συζητήσεις θα επιβεβαιώσει τα παραπάνω.

Υ.Γ. Όσον αφορά τη συμβατότητα των λύσεων μας με τους αντίστοιχους φακέλους, γνώμη μου είναι ότι δεν είναι το σημαντικότερο στοιχείο που θα εμποδίσει μια ενδιαφέρουσα "εκτός ύλης" προσέγγιση. Πρώτος εγώ το καταπατώ διαρκώς, αναφέροντας πάντα, ότι η λύση δίνεται εκτός φακέλου για την πληρότητα και επέκταση της σχετικής συζήτησης.
[/quote]
Αγαπητέ Γιώργο, δεν θέλω να κάνω και ποτέ δεν κάνω επίδειξη υψηλής ταχύτητας και γνώσης στη ζωή μου. Κατανοώ αυτά που λες και συμφωνώ απολύτως, αλλά υπάρχουν κάποιες λύσεις ,που τις χειροκροτώ επειδή είναι το κάτι άλλο. Στο

βρίσκονται μερικοί από τους καλύτερους γεωμέτρες στην Ελλάδα, από τους οποίους μερικοί είναι από τους κορυφαίους της Ευρώπης(χωρίς καμία δόση υπερβολής) και είναι τιμή μας που τους έχουμε κοντά μας

cool geometry · #9

Εγώ όποτε δω φοβερή λύση που μας θαμπώνει από την ομορφιά, απλά υποκλίνομαι στην γεωμετρική ιδιοφυία του λύτη.

Τρίγωνο-135.

Τρίγωνο-135.

Re: Τρίγωνο-135.

Re: Τρίγωνο-135.

Re: Τρίγωνο-135.

Re: Τρίγωνο-135.

Re: Τρίγωνο-135.

Re: Τρίγωνο-135.

Re: Τρίγωνο-135.

Re: Τρίγωνο-135.

Μέλη σε σύνδεση