Σταθερός λόγος

KARKAR · #1

: Σταθερός λόγος.png (6.6 KiB) Προβλήθηκε 598 φορές

Από σημείο

, το οποίο κινείται στην πλευρά

, τετραγώνου ABCD

,

φέρουμε : $ST \perp AC$ . Δείξτε ότι ο λόγος : $\dfrac{AS}{DT}$ , παραμένει σταθερός .

STOPJOHN · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 21, 2021 7:42 pm
Σταθερός λόγος.pngΑπό σημείο , το οποίο κινείται στην πλευρά , τετραγώνου ,

φέρουμε : $ST \perp AC$ . Δείξτε ότι ο λόγος : $\dfrac{AS}{DT}$ , παραμένει σταθερός .

Η $AC\perp DB,OD=OB\Rightarrow DT=TB$

Τα τρίγωνα OTB,ASB

είναι ορθογώνια και έχουν $\hat{OBT}=\hat{SAB}=\hat{BTS}=\hat{TDB},$ και το τετράπλευρο ATSB

είναι εγράψιμο σε κύκλο. Αρα τα τρίγωνα είναι όμοια $\dfrac{TB}{AS}=\dfrac{DT}{AS}=\dfrac{OB}{a}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{AS}{DT}=\sqrt{2}$

#3

Καλησπέρα σε όλους.

: Σταθερός λόγος.png (6.6 KiB) Προβλήθηκε 579 φορές

Έστω $\displaystyle A\left( {0,0} \right),\;B\left( {1,0} \right),\;S\left( {1,t} \right),\;D\left( {0,1} \right),\;0 < t < 1$

Τότε $\displaystyle {\lambda _{AS}} = t,\;\;{\lambda _{TS}} = - 1$ άρα $\displaystyle TS:\;\;y = - x + 1 + t$

Τέμνει την $\displaystyle AS:\;y = x$ στο $\displaystyle T\left( {\frac{{t + 1}}{2},\frac{{t + 1}}{2}} \right)$

Είναι $\displaystyle AS = \sqrt {{t^2} + 1}$ και $\displaystyle DT = \sqrt {{{\left( {\frac{{t + 1}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {1 - \frac{{t + 1}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \sqrt {{t^2} + 1}$

Οπότε $\displaystyle \frac{AS}{DT}= \sqrt 2$ .

#4

: Σταθερός λόγος.png (26.34 KiB) Προβλήθηκε 571 φορές

Φέρνω

. Αυτόματα : τα τετράπλευρα $AETD\,\,,\,\,TEBC$ είναι παραλληλόγραμμα.

$\vartriangle DTC\, = \vartriangle AEB$ , το τετράπλευρο TSBE

είναι ισοσκελές τραπέζιο , άρα εγγράψιμο , αλλά και το TSBA

είναι προφανώς εγγράψιμο .

Επειδή η

διχοτομεί τη γωνία $\widehat {ATS} = 90^\circ$ θα είναι EA = ES

.

Έτσι ο ζητούμενος λόγος είναι:

ως ο λόγος υποτείνουσας προς κάθετη πλευρά σε ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο , δηλαδή $\sqrt 2$ .

nickchalkida · #5

Επειδή $\triangle ATS = \triangle ATE \rightarrow AS = AE$ και επειδή $DCT \sim ACE$ (διότι ATED

εγγράψιμο), θα είναι

$\displaystyle{ {AS \over DT} = {AE \over DT} = {AC \over DC} = \sqrt{2} }$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 21, 2021 7:42 pm
Σταθερός λόγος.pngΑπό σημείο , το οποίο κινείται στην πλευρά , τετραγώνου ,

φέρουμε : $ST \perp AC$ . Δείξτε ότι ο λόγος : $\dfrac{AS}{DT}$ , παραμένει σταθερός .

Με $TP=//AS \Rightarrow PA=//TS=TC$ .Άρα $AP \bot CA$ και $\angle DAP=45^0$

Επομένως , $\triangle DAP= \triangle DCT \Rightarrow DP=DT$ και $DT \bot DP$ ,άρα $\dfrac{TP}{TD} = \dfrac{AS}{TD}= \sqrt{2}$

: Σταθερός λόγος.png (16.01 KiB) Προβλήθηκε 553 φορές

#7

$\sqrt{2}$

Γιατί η στροφή αριστερά περί το C κατά 45^ o

και ομοιοθεσία με αυτόν τον λόγο, στέλνει το Α στο D και το S στο Τ, επομένως στέλνει το AS στο DT.

Σταθερός λόγος

Σταθερός λόγος

Re: Σταθερός λόγος

Re: Σταθερός λόγος

Re: Σταθερός λόγος

Re: Σταθερός λόγος

Re: Σταθερός λόγος

Re: Σταθερός λόγος

Μέλη σε σύνδεση