Μακρόστενο ορθογώνιο

KARKAR · #1

: Μακρόστενο ορθογώνιο.png (10.12 KiB) Προβλήθηκε 311 φορές

Στην πλευρά

του ορθογωνίου ABCD

, η οποία είναι τριπλάσια της

, εντοπίστε σημείο

,

τέτοιο ώστε ο κύκλος (K , KA)

να διέρχεται και από το

. Αν ο κύκλος τέμνει την

στο σημείο

και η ακτίνα

τέμνει την διαγώνιο

στο

, υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{SC}$ , καθώς και την : $\tan\theta$ .

Φανης Θεοφανιδης · #2

: 604.png (15.46 KiB) Προβλήθηκε 286 φορές

Ο Πυθαγόρας στο τρίγωνο KCB

λέει ότι $R=\dfrac{5k}{3}$ .
Είναι $TC=\dfrac{8R}{5}$ .
Τα όμοια τρίγωνα ASK

και

έχουν λόγο ομοιότητας $l=\dfrac{AK}{TC}=\dfrac{5}{8}=\dfrac{AS}{SC}$ .
Το Π.Θ. στο τρίγωνο ABC

μου δίνει $AC=\sqrt{10}k=2AM=2MC$ .
Είναι $\dfrac{AS}{SC}=\dfrac{5}{8}\Rightarrow \dfrac{AM-MS}{MS+MC}=\dfrac{5}{8}\Rightarrow$
$\Rightarrow MS=\dfrac{3\sqrt{10}k}{26}$ .
Από το Π.Θ. στο τρίγωνο KMC

παίρνω ότι $KM=\dfrac{\sqrt{5}k}{3\sqrt{2}}$ .
Αλλά $tan\theta =\dfrac{MK}{SM}=\dfrac{13}{9}$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 28, 2023 7:23 pm
Μακρόστενο ορθογώνιο.pngΣτην πλευρά του ορθογωνίου , η οποία είναι τριπλάσια της , εντοπίστε σημείο ,

τέτοιο ώστε ο κύκλος να διέρχεται και από το . Αν ο κύκλος τέμνει την στο σημείο

και η ακτίνα τέμνει την διαγώνιο στο , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{SC}$ , καθώς και την : $\tan\theta$ .

Ας πούμε $AB = 9m \Rightarrow AD = 3m$ . Επειδή $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ (χορδής κι εφαπτομένης) θα είναι $\vartriangle DAT \approx \vartriangle DCA$ .

Συνεπώς : $DT = BE = m\,,\,\,TC = 8m\,,\,\,AE = 10m\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KA = 5m$ , οπότε:

α) $\boxed{\dfrac{{SK}}{{SA}} = \dfrac{{AK}}{{TC}} = \dfrac{5}{8}}\,\,\,\left( 1 \right)$

β) Έστω

σημείο του

με

,

οπότε : $AL = AD = 3m\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,LK = 5m - m = 4m$ , το τρίγωνο $AKL \to \left( {3m,4m,5m} \right)$ άρα είναι ορθογώνιο στο

.

: Μακρόστενο ορθογώνιο.png (36.61 KiB) Προβλήθηκε 248 φορές

Επειδή $\dfrac{{SK}}{{ST}} = \dfrac{5}{8} \Rightarrow \dfrac{{SK}}{{ST + SK}} = \dfrac{5}{{5 + 8}} = \dfrac{5}{{13}} \Rightarrow \boxed{SK = \dfrac{{25m}}{{13}}}$ και άρα $LS = 4m - \dfrac{{25m}}{{13}} = \dfrac{{27m}}{{13}},$

Οπότε : $\boxed{\tan \theta = \dfrac{{AL}}{{LS}} = \dfrac{{3 \cdot 13}}{{3 \cdot 9}} = \dfrac{{13}}{9}}$

ή αλλιώς στο $\vartriangle SAK$ : $\theta = {a_1} + K \Rightarrow \boxed{\tan \theta = \dfrac{{\dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{4}}}{{1 - \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{4}}} = \dfrac{{13}}{9}}$ . ( Το ίδιο προκύπτει και απο το τρίγωνο STC

)

Μακρόστενο ορθογώνιο

Μακρόστενο ορθογώνιο

Re: Μακρόστενο ορθογώνιο

Re: Μακρόστενο ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση