Υπάρχει σοβαρός λόγος.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 617.png (10.56 KiB) Προβλήθηκε 448 φορές

Στο παραπάνω σχήμα βρείτε το λόγο AD/DC

.

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 21, 2024 12:27 pm

Στο παραπάνω σχήμα βρείτε το λόγο .

Εύκολα βρίσκω ότι το ύψος AM=4.

Το

είναι εγγράψιμο, οπότε $\displaystyle P\widehat AM = \theta ,P\widehat MA = \omega.$

Τα τρίγωνα PMA, PBC

είναι όμοια, οπότε $\displaystyle \frac{{AP}}{{PC}} = \frac{2}{3}.$

: ΥΣΛ.png (17.97 KiB) Προβλήθηκε 379 φορές

Εξάλλου, $\displaystyle C\widehat PD = \widehat B,A\widehat PD = 90^\circ - \widehat B$ και είναι $\displaystyle \sin B = \frac{4}{5},\sin (90^\circ - \widehat B) = \frac{3}{5}.$

$\displaystyle \frac{{AD}}{{DC}} = \frac{{(APD)}}{{(CPD)}} = \frac{{AP \cdot PD \cdot \dfrac{3}{5}}}{{PC \cdot PD \cdot \dfrac{4}{5}}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \Leftrightarrow$ $\boxed{\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{1}{2}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 21, 2024 12:27 pm
617.png

Στο παραπάνω σχήμα βρείτε το λόγο .

Λίγο πιο μπελαλίδικα από το Γιώργο..

Είναι, $\dfrac{AD}{DC} = \dfrac{(APB)}{(BPC)}= \dfrac{5x}{6y}$ .Θα βρούμε την τιμή του λόγου $\dfrac{x}{y}=\dfrac{BP}{PC}$

(αφού $\triangle EPB \simeq \triangle PZC$ )

Με

ύψος,είναι προφανής η ισότητα των γωνιών ίδιου χρώματος, συνεπώς τα

τρίγωνα APM,BPQ,BPC

είναι όμοια μεταξύ τους

Ισχύει, $BM.BC=BQ.BA\Rightarrow 18=5BQ \Rightarrow BQ= \dfrac{18}{5}$

$\triangle BPQ \simeq \triangle APM \Rightarrow \dfrac{BQ}{AM}= \dfrac{BP}{AP} \Rightarrow AP= \dfrac{AM.BP}{BQ} = \dfrac{4.BP}{ \dfrac{18}{5} } \Rightarrow AP= \dfrac{10}{9}BP$

Από $\triangle BPC\simeq \triangle APM \Rightarrow \dfrac{AP}{PC}= \dfrac{AM}{BC} \dfrac{4}{6}= \dfrac{2}{3}$

Άρα $\dfrac{ \dfrac{10}{9}BP }{PC} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{BP}{PC} = \dfrac{3}{5}$

και $\dfrac{AD}{DC} = \dfrac{5}{6} . \dfrac{3}{5} = \dfrac{1}{2}$

: υπάρχει σοβαρός λόγος.png (35.78 KiB) Προβλήθηκε 356 φορές

#4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 21, 2024 12:27 pm
617.png

Στο παραπάνω σχήμα βρείτε το λόγο .

Πρώτα-πρώτα να δούμε πως γίνεται η κατασκευή του σχήματος .

Επειδή από την υπόθεση η

εφάπτεται του κύκλου $\left( {P,B,C} \right)$ , αν

το κέντρο αυτού του κύκλου ( αναγκαστικά στη μεσοκάθετο

της

)

θα είναι,

$\boxed{4k = 3 \Rightarrow 3k = \frac{9}{4}}$ . Τώρα κυνήγι γωνιών , $\widehat {\theta _{}^{}} = \widehat {{\theta _2}}$ (υπόθεση ) και $\widehat {\theta _{}^{}} = \widehat {{\theta _1}}$ (βαίνουν στο ίδιο τόξο). Άρα $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}\,\,\left( 1 \right)$ .

: Υπάρχει σοβαρός λόγος_new.png (34.97 KiB) Προβλήθηκε 324 φορές

Επίσης , $\widehat {\omega _{}^{}} = \widehat {{\omega _1}}$ ( από το εγράψιμο KCAB

) , $\widehat {\omega _{}^{}} = \widehat {{\omega _2}}$ (συμπληρώματα της γωνίας $\widehat {CBA}$ ) δηλαδή $\widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}}$ ,

άρα και λόγω της $\left( 1 \right)$ το τετράπλευρο AEBP

είναι εγγράψιμο .

Άμεση συνέπεια στο $\vartriangle PDE$ η

είναι διχοτόμος και αφού $PA \bot PC$ η τετράδα $\left( {C,A\backslash D,E} \right)$ είναι αρμονική . $\boxed{\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{EA}}{{EC}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}}$

Ιστοσελίδα · #5

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 21, 2024 12:27 pm

Στο παραπάνω σχήμα βρείτε το λόγο .

: shape.png (26.5 KiB) Προβλήθηκε 306 φορές

Ιστοσελίδα · #6

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 21, 2024 12:27 pm
Στο παραπάνω σχήμα βρείτε το λόγο .

: shape2.png (29.83 KiB) Προβλήθηκε 253 φορές

Φανης Θεοφανιδης · #7

: 001.png (6.2 KiB) Προβλήθηκε 218 φορές

Όμοια με τον Μιχάλη Νάννο μέχρι εκεί που βρίσκει ότι ME=y=2

(πρώτη λύση).
Εφόσον το

είναι μέσο του

και η από το

παράλληλη προς τη

τέμνει
την

στο

, έπεται ότι AD=DK=KC

. Συνεπώς $\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{1}{2}$ .

Υπάρχει σοβαρός λόγος.

Υπάρχει σοβαρός λόγος.

Re: Υπάρχει σοβαρός λόγος.

Re: Υπάρχει σοβαρός λόγος.

Re: Υπάρχει σοβαρός λόγος.

Re: Υπάρχει σοβαρός λόγος.

Re: Υπάρχει σοβαρός λόγος.

Re: Υπάρχει σοβαρός λόγος.

Μέλη σε σύνδεση