Διχοτόμος από σύμπτωση

KARKAR · #1

: Διχοτόμος από σύμπτωση.png (10.33 KiB) Προβλήθηκε 343 φορές

Στο τεταρτημόριο $O\overset{\frown}{AB}$ , το

είναι το μέσο της

ενώ το

είναι σημείο στην προέκταση της

,

τέτοιο ώστε : AP=2 OA

. Σχεδιάζω το ορθογώνιο OANM

και την

, η οποία τέμνει το τόξο

στο σημείο

. Δείξτε ότι η διαγώνιος

διχοτομεί την γωνία : $\widehat{AOS}$ .

Γιώργος Μήτσιος · #2

Καλό βράδυ!
Η σύμπτωση παύει , μόλις ... βγουν στη φόρα τα αίτια!
Δίνω μόνο σχήμα και θα επανέλθω για τις δέουσες εξηγήσεις.

: 13-2 Διχοτόμος , όχι χωρίς αιτία! .png (256.61 KiB) Προβλήθηκε 314 φορές

Επανέρχομαι. Στο σχήμα το

είναι η τομή των BP,ON

, ενώ $PL,EH \perp OH$ και $HF \perp OP$ οπότε $\widehat{FHE}=\widehat{FOH}=x$ (οξείες με κάθετες πλευρές). Αν EF =k

τότε

,

ενώ

οπότε

, δηλ το

μέσο του

και το

μέσο του

.

Έχουμε $\widehat{ASP}=45^O$ ως εξωτερική της $\widehat{BSA}$ που βαίνει σε τόξο 3/4

του κύκλου.

Ακόμη PL=OL/2=LH

και $\widehat{EHP}=\widehat{LPH}=45^o$ .
Έτσι $AS \parallel EH \perp ON$ και τέλος στο ισοσκελές AOS

το ύψος προς την

είναι και διχοτόμος της $\widehat{AOS}$ .

Φιλικά, Γιώργος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 13, 2024 8:48 pm
Διχοτόμος από σύμπτωση.pngΣτο τεταρτημόριο $O\overset{\frown}{AB}$ , το είναι το μέσο της ενώ το είναι σημείο στην προέκταση της ,

τέτοιο ώστε : . Σχεδιάζω το ορθογώνιο και την , η οποία τέμνει το τόξο

στο σημείο . Δείξτε ότι η διαγώνιος διχοτομεί την γωνία : $\widehat{AOS}$ .

Η παράλληλη από το

προς την

τέμνει την

στο

$BZ//AP\Rightarrow \dfrac{ZE}{EN}= \dfrac{r}{2r} \Rightarrow \dfrac{x}{2r-x}= \dfrac{1}{2} \Rightarrow x= \dfrac{2r}{3} \Rightarrow EN= \dfrac{r}{3} \Rightarrow \dfrac{EN}{EA}= \dfrac{BT}{BA}= \dfrac{1}{4}$

$BT.BA=\dfrac{BA^2}{4}= \dfrac{(r \sqrt{2})^2}{4} = \dfrac{r^2}{2}=BM.BO$ άρα TMOA

εγγράψιμμο,συνεπώς

όλες οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες ,άρα και TNOM

εγγράψιμμο οπότε

$NT \bot OT$ άρα και $OT \bot BS$ και προφανώς οι γωνίες $\theta$ είναι ίσες .

Έτσι $\angle ATS=2 \theta = \angle SOA \Rightarrow TOAS$ εγγράψιμμο ,οπότε $\angle NOA= \angle \theta$ και το ζητούμενο αποδείχτηκε

: διχοτόμος από σύμπτωση.png (25.1 KiB) Προβλήθηκε 303 φορές

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 13, 2024 8:48 pm
Διχοτόμος από σύμπτωση.pngΣτο τεταρτημόριο $O\overset{\frown}{AB}$ , το είναι το μέσο της ενώ το είναι σημείο στην προέκταση της ,

τέτοιο ώστε : . Σχεδιάζω το ορθογώνιο και την , η οποία τέμνει το τόξο

στο σημείο . Δείξτε ότι η διαγώνιος διχοτομεί την γωνία : $\widehat{AOS}$ .

Σχηματίζω αριστερά και δεξιά από το τετράγωνο , BOAD

τα τετράγωνα , $HGOB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DAEZ$ .

Προσωρινά αγνοώ την

και έστω

το σημείο τομής του τεταρτοκυκλίου με την

. Θα δείξω ότι το $\boxed{T \equiv S}\,\,\,\left( * \right)$ .

Το τετράπλευρο OZDT

είναι προφανώς ισοσκελές τραπέζιο και οι τρεις γωνίες χρώματος κίτρινου είναι από $\theta$ κάθε μια

: Διιχοτόμος απο σύμπτωση_ok.png (21.42 KiB) Προβλήθηκε 274 φορές

Επειδή $\tan \theta = \dfrac{{EZ}}{{OE}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \tan 2\theta = \dfrac{{2\tan \theta }}{{1 - {{\tan }^2}\theta }} = \dfrac{4}{3}\,\,\left( 2 \right)$ . Αν λοιπόν r = 5k

και

η προβολή του

στην

θα ισχύει ότι :

Το $\vartriangle OFT$ είναι της μορφής : $\left( {3,4,5} \right)$ . Έστω τώρα

η προβολή του

στην

.

Τα $\vartriangle QTB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle OTB$ είναι όμοια με λόγο , $\dfrac{{QT}}{{QB}} = \dfrac{{OT}}{{OB}} = 3$ και άρα τα $B\,\,,T\,,\,P$ είναι συνευθειακά , οπότε : $\boxed{T \equiv S}$ .

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 13, 2024 8:48 pm
Διχοτόμος από σύμπτωση.pngΣτο τεταρτημόριο $O\overset{\frown}{AB}$ , το είναι το μέσο της ενώ το είναι σημείο στην προέκταση της ,

τέτοιο ώστε : . Σχεδιάζω το ορθογώνιο και την , η οποία τέμνει το τόξο

στο σημείο . Δείξτε ότι η διαγώνιος διχοτομεί την γωνία : $\widehat{AOS}$ .

Φέρνω $SK\bot OP$ και θέτω SK=x.

Επειδή

θα είναι

οπότε

Με Πυθαγόρειο στο OKS

βρίσκω $x=\dfrac{4r}{5}$ και $OK=\dfrac{3r}{5}.$ Είναι ακόμα $\displaystyle SL = \frac{{4r}}{5} - \frac{r}{2} = \frac{{3r}}{{10}}.$

: Διχοτόμος από σύμπτωση.png (15.67 KiB) Προβλήθηκε 254 φορές

$\displaystyle \frac{{ML}}{{SL}} = \frac{{\frac{{3r}}{5}}}{{\frac{{3r}}{{10}}}} = 2 = \frac{{OA}}{{ON}},$ οπότε τα τρίγωνα OAN, MLS

είναι όμοια και $N\widehat MS = \theta = M\widehat NO.$

Άρα, MS||ON

κι επειδή

το

θα είναι ισοσκελές τραπέζιο, οπότε $\boxed{\varphi=\theta}$

Γιώργος Μήτσιος · #6

Καλό βράδυ!
Μία ακόμη, με χρήση της σχέσης : $tan\left (a+b \right )= \dfrac{tana +tanb}{1-tana\cdot tanb }$
που απέφυγα στην προηγούμενη ανάρτησή μου.

: Διχοτόμος...png (247.68 KiB) Προβλήθηκε 183 φορές

Έχουμε

και

. Το τρίγωνο FIS

είναι ορθογώνιο αφού

$tan\omega =tan\left ( a+b \right )=1$ άρα $\omega =45^o$ , ενώ όπως είδαμε (ανάρτηση #2) και $\varphi =45^o$ .

Στο ισοσκελές τρίγωνο AOS

το ύψος

είναι και διχοτόμος της $\widehat{AOS}$ .

Φιλικά, Γιώργος.

Διχοτόμος από σύμπτωση

Διχοτόμος από σύμπτωση

Re: Διχοτόμος από σύμπτωση

Re: Διχοτόμος από σύμπτωση

Re: Διχοτόμος από σύμπτωση

Re: Διχοτόμος από σύμπτωση

Re: Διχοτόμος από σύμπτωση

Μέλη σε σύνδεση